Calota esférica (original) (raw)

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Uma calota esférica, em geometria, é a parte de uma esfera cortada por um plano. Se tal plano passa pelo centro da esfera, logicamente, a altura da calota é igual ao raio da esfera, e a calota esférica será uma hemiesfera (semiesfera).

Calota esférica 3D

Se o raio da esfera é r , {\displaystyle r,} {\displaystyle r,} o raio da base da calota a , {\displaystyle a,} {\displaystyle a,} e a altura da calota h , {\displaystyle h,} {\displaystyle h,} o volume da calota esférica será:

1 6 π h ( 3 a 2 + h 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})} {\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2})}

Outra expressão para encontrar o volume da calota esférica, em função do raio da esfera e da altura h, é:

1 3 π h 2 ( 3 r − h ) {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)} {\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)}

e a área superficial da calota esférica 2 π r h . {\displaystyle 2\pi rh.} {\displaystyle 2\pi rh.}

O volume de uma abertura de ângulo sólido subtraído do volume do cone interior a essa abertura representa o volume da calota esférica, logo, tem-se:

Volume da abertura(V1):

Recorde-se que, pela definição de ângulo sólido, o volume de abertura subentendido pelo ângulo sólido é proporcional ao volume da esfera. Ou seja, isso se traduz para:

V 1 = Ω 4 π V o l u m e e s f e r a {\displaystyle V1={\frac {\Omega }{4\pi }}Volume_{esfera}} {\displaystyle V1={\frac {\Omega }{4\pi }}Volume_{esfera}}, onde é sabido que, para este caso, Ω = A c a l o t a r 2 {\displaystyle \Omega ={\frac {A_{calota}}{r^{2}}}} {\displaystyle \Omega ={\frac {A_{calota}}{r^{2}}}}. Por conseguinte, tem-se:

V 1 = A r e a c a l o t a A r e a e s f e r a V o l u m e e s f e r a {\displaystyle V1={\frac {Area_{calota}}{Area_{esfera}}}Volume_{esfera}} {\displaystyle V1={\frac {Area_{calota}}{Area_{esfera}}}Volume_{esfera}}

V 1 = 2 π r h 4 π r 2 4 3 π r 3 {\displaystyle V1={\frac {2\pi rh}{4\pi r^{2}}}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}} {\displaystyle V1={\frac {2\pi rh}{4\pi r^{2}}}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}}

V 1 = 2 3 π r 2 h {\displaystyle V1={\frac {2}{3}}\pi r^{2}h} {\displaystyle V1={\frac {2}{3}}\pi r^{2}h}

Volume do cone(V2):

V 2 = π h 3 ( 2 r − h ) ( r − h ) {\displaystyle V2={\frac {\pi h}{3}}(2r-h)(r-h)} {\displaystyle V2={\frac {\pi h}{3}}(2r-h)(r-h)}

Volume da calota esférica:

V 1 − V 2 = V c a l o t a = 1 3 π h 2 ( 3 r − h ) {\displaystyle V1-V2=V_{calota}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)} {\displaystyle V1-V2=V_{calota}={\frac {1}{3}}\pi h^{2}(3r-h)} [1]

Referências

  1. ↑ Deriving the Integral for the Surface Area of a Sphere - mathforum.org