Cubo (original) (raw)

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Cubo
Cubo
Tipo Sólido platônico
Faces 6
Arestas 12
Vértices 8
Símbolo de Schläfli {4,3}t{2,4} or {4}×{}tr{2,2} or {}×{}×{}
Símbolo de Wythoff 3
Símbolo de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetria Oh, B3, [4,3], (*432)
Área de superfície A = 6 a 2 {\displaystyle A=6a^{2}} {\displaystyle A=6a^{2}}
Volume V = a 3 {\displaystyle V=a^{3}} {\displaystyle V=a^{3}}
Ângulo diédrico 90°
Poliedro dual Octaedro
Propriedades
Regular, Convexo
Planificação

Um cubo ou hexaedro regular é um poliedro com 6 faces congruentes. Além disso, é um dos cinco sólidos platônicos, pois:

O cubo é também um poliedro regular, pois além das características de sólido platônico, possui:

Ainda, é um prisma quadrangular regular, pois possui duas bases paralelas e congruentes (já que é um poliedro regular), suas bases são polígonos regulares (quadrados) e as arestas laterais formam ângulos retos ( 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} {\displaystyle 90^{\circ }}) com as arestas das bases. No cubo, todos os diedros possuem ângulo reto.

O cubo é também um sólido sociável, já que ele pode ser aglomerado perfeitamente, o que significa que é possível juntar vários cubos sem que sobrem espaços vazios.[2]

Como definido anteriormente, o cubo possui 6 faces quadrangulares, de modo que cada face possui 4 arestas. Daí, multiplicando o número de faces pelo número de arestas, tem-se:

6 ⋅ 4 = 24 {\displaystyle 6\cdot 4=24} {\displaystyle 6\cdot 4=24}

Porém, o número de arestas obtido é o dobro do número de arestas total do cubo, já que cada aresta pertence a duas faces. Por isso, é necessário dividir o resultado acima por 2. Logo:

24 ÷ 2 = 12 {\displaystyle 24\div 2=12} {\displaystyle 24\div 2=12}

Daí, segue que 12 é o número total de arestas do cubo.

Para obter o número de vértices do cubo, basta substituir na relação de Euler os valores obtidos:

V − A + F = 2 {\displaystyle V-A+F=2} {\displaystyle V-A+F=2}

sendo F = 6 {\displaystyle F=6} {\displaystyle F=6} e A = 12 {\displaystyle A=12} {\displaystyle A=12}, tem-se:

V − 12 + 6 = 2 ⇒ V − 6 = 2 ⇒ V − 6 + 6 = 2 + 6 ⇒ V = 8 {\displaystyle V-12+6=2\Rightarrow V-6=2\Rightarrow V-6+6=2+6\Rightarrow V=8} {\displaystyle V-12+6=2\Rightarrow V-6=2\Rightarrow V-6+6=2+6\Rightarrow V=8}

Logo, 8 é o número de vértices do cubo.

Obtenção do número de vértices, arestas e faces partindo da informação do número de lados do polígono da base do prisma

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Sendo n {\displaystyle n} {\displaystyle n} o número de lados do polígono da base do prisma, é possível obter o número de vértices, arestas e faces que possui, já que todo prisma é composto por:

Assim, como o polígono da base do cubo é um quadrado, tem-se:

n = 4. {\displaystyle n=4.} {\displaystyle n=4.}

Logo, substituindo n {\displaystyle n} {\displaystyle n} por 4 {\displaystyle 4} {\displaystyle 4}, nas relações estabelecidas acima, conclui-se que:

O cubo possui, no total, 11 planificações distintas.[3][4] E são elas:

Planos do Cubo

Como o cubo é formado por 6 faces regulares e congruentes (6 quadrados), basta calcular a área de uma de suas faces e multiplicar por 6.

Sabendo que a área de um quadrado com lado medindo l {\displaystyle l} {\displaystyle l} é dada por l 2 {\displaystyle l^{2}} {\displaystyle l^{2}} e supondo que cada aresta do cubo tenha medida a {\displaystyle a} {\displaystyle a}, concluí-se que a área de cada face (quadrado) será a 2 {\displaystyle a^{2}} {\displaystyle a^{2}}.

Logo a área total da superfície do cubo será 6 a 2 {\displaystyle 6a^{2}} {\displaystyle 6a^{2}}.[1]

É possível obter a diagonal do cubo utilizando o Teorema de Pitágoras. Basta descobrir o valor da diagonal de uma de suas faces em função do valor da aresta a {\displaystyle a} {\displaystyle a} e depois utilizá-lo para obter a diagonal do cubo.

O segmento A C ′ ¯ {\displaystyle {\overline {AC'}}} {\displaystyle {\overline {AC'}}} representa a diagonal do cubo.

Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras:

a 2 + a 2 = ( A C ¯ ) 2 {\displaystyle a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}} {\displaystyle a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}}

onde a {\displaystyle a} {\displaystyle a} representa a medida da aresta do cubo e A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} {\displaystyle {\overline {AC}}} representa a medida da diagonal de uma das faces do cubo. Portanto:

a 2 + a 2 = ( A C ¯ ) 2 {\displaystyle a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}} {\displaystyle a^{2}+a^{2}=({\overline {AC}})^{2}}

⇒ 2 a 2 = ( A C ¯ ) 2 {\displaystyle \Rightarrow 2a^{2}=({\overline {AC}})^{2}} {\displaystyle \Rightarrow 2a^{2}=({\overline {AC}})^{2}}

⇒ 2 a 2 = ( A C ¯ ) 2 {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC}})^{2}}}} {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC}})^{2}}}}

⇒ a 2 = A C ¯ . {\displaystyle \Rightarrow a{\sqrt {2}}={\overline {AC}}.} {\displaystyle \Rightarrow a{\sqrt {2}}={\overline {AC}}.}[1]

Daí, novamente utilizando o Teorema de Pitágoras:

a 2 + ( A C ¯ ) 2 = ( A C ′ ¯ ) 2 {\displaystyle a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}} {\displaystyle a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}

em que A C ′ ¯ {\displaystyle {\overline {AC'}}} {\displaystyle {\overline {AC'}}} representa a diagonal do cubo, a {\displaystyle a} {\displaystyle a} representa a aresta do cubo e A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} {\displaystyle {\overline {AC}}} a diagonal de uma das faces. Substituindo A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} {\displaystyle {\overline {AC}}} por a 2 {\displaystyle a{\sqrt {2}}} {\displaystyle a{\sqrt {2}}}:

a 2 + ( A C ¯ ) 2 = ( A C ′ ¯ ) 2 {\displaystyle a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}} {\displaystyle a^{2}+({\overline {AC}})^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}

⇒ a 2 + ( a 2 ) 2 = ( A C ′ ¯ ) 2 {\displaystyle \Rightarrow a^{2}+{\Big (}{a{\sqrt {2}}}{\Big )}^{2}=({\overline {AC'}})^{2}} {\displaystyle \Rightarrow a^{2}+{\Big (}{a{\sqrt {2}}}{\Big )}^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}

⇒ a 2 + 2 a 2 = ( A C ′ ¯ ) 2 {\displaystyle \Rightarrow a^{2}+2a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}} {\displaystyle \Rightarrow a^{2}+2a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}

⇒ 3 a 2 = ( A C ′ ¯ ) 2 {\displaystyle \Rightarrow 3a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}} {\displaystyle \Rightarrow 3a^{2}=({\overline {AC'}})^{2}}

⇒ 3 a 2 = ( A C ′ ¯ ) 2 {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {3a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC'}})^{2}}}} {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {3a^{2}}}={\sqrt {({\overline {AC'}})^{2}}}}

⇒ a 3 = A C ′ ¯ . {\displaystyle \Rightarrow a{\sqrt {3}}={\overline {AC'}}.} {\displaystyle \Rightarrow a{\sqrt {3}}={\overline {AC'}}.}[1]

Ou seja, a diagonal do cubo é dada por a 3 {\displaystyle a{\sqrt {3}}} {\displaystyle a{\sqrt {3}}}.

Sendo um prisma, o volume do cubo pode ser obtido pelo produto da base pela altura.[5] Assim,

V = A b ⋅ h {\displaystyle V=Ab\cdot h} {\displaystyle V=Ab\cdot h}

onde V {\displaystyle V} {\displaystyle V} representa o volume, A b {\displaystyle Ab} {\displaystyle Ab} a área da base e h {\displaystyle h} {\displaystyle h} a altura.

Como a base é um quadrado de lado a {\displaystyle a} {\displaystyle a} e a altura também vale a {\displaystyle a} {\displaystyle a} (já que todas as arestas do cubo possuem a mesma medida), obtém-se:

V = a 2 ⋅ a ⇒ V = a 3 . {\displaystyle V=a^{2}\cdot a\Rightarrow V=a^{3}.} {\displaystyle V=a^{2}\cdot a\Rightarrow V=a^{3}.}[5]

Caso a aresta seja duplicada, formando um cubo de aresta 2 a {\displaystyle 2a} {\displaystyle 2a}, o seu volume será 8 vezes maior que o inicial, pois:

V = ( 2 a ) 3 ⇒ V = 8 a 3 . {\displaystyle V=(2a)^{3}\Rightarrow V=8a^{3}.} {\displaystyle V=(2a)^{3}\Rightarrow V=8a^{3}.}

Caso a esfera esteja inscrita no cubo, ela tangenciará cada face do cubo exatamente no centro. Assim, a medida da aresta do cubo será o dobro da medida do raio da esfera inscrita, ou seja, será igual a medida do diâmetro da esfera.

Utilizando r {\displaystyle r} {\displaystyle r} para representar a medida do raio da esfera inscrita no cubo:

2 r = a ⇒ r = a 2 . {\displaystyle 2r=a\Rightarrow r={\frac {a}{2}}.} {\displaystyle 2r=a\Rightarrow r={\frac {a}{2}}.}[1]

Caso o cubo esteja inscrito em uma esfera, todos seus vértices irão tangenciar a esfera.

Se R {\displaystyle R} {\displaystyle R} representa o raio da esfera circunscrita ao cubo, 2 R {\displaystyle 2R} {\displaystyle 2R} representa o diâmetro. Mas o diâmetro da esfera é igual ao valor da diagonal do cubo (já calculado anteriormente). Portanto:

2 R = a 3 ⇒ R = a 3 2 . {\displaystyle 2R=a{\sqrt {3}}\Rightarrow R={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}.} {\displaystyle 2R=a{\sqrt {3}}\Rightarrow R={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}.}[1]

O poliedro dual do cubo é o octaedro regular.

Para obter o poliedro dual de um poliedro, inicialmente marca-se o centro de cada face do poliedro original, em seguida liga-se, por segmento de reta, cada um destes centros aos centros das faces adjacentes e por fim desconsidera-se o poliedro original.[6]

Octaedro

Medida da aresta do octaedro inscrito em um cubo de aresta a {\displaystyle a} {\displaystyle a}

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    a
  

{\displaystyle a}

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    a
  

{\displaystyle a}

")]

Como cada vértice do octaedro encontra-se exatamente no centro da face do cubo, basta utilizar o Teorema de Pitágoras. Daí, cada cateto irá medir a metade da aresta a {\displaystyle a} {\displaystyle a} do cubo. Fixando x {\displaystyle x} {\displaystyle x} para representar a hipotenusa (medida da aresta do octaedro), obtém-se:

x 2 = ( a 2 ) 2 + ( a 2 ) 2 {\displaystyle x^{2}=\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}} {\displaystyle x^{2}=\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}+\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}}

⇒ x 2 = 2 ( a 2 ) 2 {\displaystyle \Rightarrow x^{2}=2\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}} {\displaystyle \Rightarrow x^{2}=2\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{2}}

⇒ x 2 = 2 ⋅ a 2 4 {\displaystyle \Rightarrow x^{2}=2\cdot {\dfrac {a^{2}}{4}}} {\displaystyle \Rightarrow x^{2}=2\cdot {\dfrac {a^{2}}{4}}}

⇒ x 2 = 2 a 2 4 {\displaystyle \Rightarrow x^{2}={\dfrac {2a^{2}}{4}}} {\displaystyle \Rightarrow x^{2}={\dfrac {2a^{2}}{4}}}

⇒ x 2 = 2 a 2 4 {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {\dfrac {2a^{2}}{4}}}} {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {x^{2}}}={\sqrt {\dfrac {2a^{2}}{4}}}}

⇒ x = a 2 2 . {\displaystyle \Rightarrow x={\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}.} {\displaystyle \Rightarrow x={\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}.}[1]

Portanto, a medida da aresta do octaedro é a 2 2 {\displaystyle {\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}} {\displaystyle {\dfrac {a{\sqrt {2}}}{2}}}.

Referências

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos de Matemática Elementar 6 ed. São Paulo: Atual
  2. ↑ Rodrigues Justino, Ana Paula (2011). «Poliedros de Platão» (PDF). Universidade Federal da Paraíba
  3. ↑ http://www.ijvr.org/issues/issue3-2010/paper2.pdf
  4. ↑ http://www.numeracycd.com/contents/main/nets/netsofacube.pdf
  5. 1 2 Marcos Noé Pedro da Silva. «Volume do Cubo». Mundo Educação. Consultado em 11 de junho de 2018
  6. ↑ Batista, Silvia; Barcelos, GIlmara. «Poliedros Duais». Consultado em 11 de junho de 2018