hyperbel – Store norske leksikon (original) (raw)

Hyperbel er en geometrisk kurve som er et av kjeglesnittene. Den består av to adskilte deler.

Faktaboks

Uttale

hypˈerbel

Etymologi

av gresk ‘overdrivelse’

Matematisk kan en hyperbel beskrives som en plan kurve med den egenskapen at differensen mellom avstandene fra ethvert punkt P på kurven til to faste punkter _F_1 og F_2, som kalles brennpunktene, er konstant (se figur). Denne konstante lengden kaller vi her 2_a. Til høyre i figuren er r_2−_r_1 = 2_a, og til venstre er r_1−_r_2 = 2_a.

Hyperbelen har to symmetriakser. Den ene går gjennom brennpunktene og skjærer hyperbelen i to punkter _A_2 og _A_1, som vi kaller toppunktene. Den andre aksen står vinkelrett på den første midt mellom toppunktene, i hyperbelens sentrum O.

Dersom avstanden mellom brennpunktene settes lik 2_c_, kan ligningen for en hyperbel i et rettvinklet koordinatsystem, hvor _x_-aksen går gjennom brennpunktene og _y_-aksen gjennom hyperbelens sentrum O, skrives som

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1\]

Det er vanlig å sette _c_2−_a_2 = _b_2, og ligningen for hyperbelen blir da

\[\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\]

I hyperbelens toppunkter er y = 0 og x = ±a. Avstanden mellom de to toppunktene _A_2 og A_1 er altså lik den konstante lengden 2_a nevnt ovenfor.

Hyperbelen består av to atskilte grener, og når x blir større, nærmer disse grenene seg to rette linjer gjennom hyperbelens sentrum, asymptotene. Ligningen for asymptotene er

\[y=\pm\frac{b}{a}x\]

Hyperbelen er et kjeglesnitt med eksentrisitet større enn 1. Eksentrisiteten e er lik forholdet mellom brennpunktenes avstand 2_c_ og toppunktenes avstand 2_a_, det vil si \(e=\frac{c}{a}\). Eksentrisiteten bestemmer vinkelen mellom asymptotene. Hvis vinkelen er 90°, sies hyperbelen å være likesidet.