invers funksjon – Store norske leksikon (original) (raw)
Den blå kurven er eksponentialfunksjonen, den grønne er den naturlige logaritmefunksjonen og den brune rette linjen er y=x. Eksponentialfunksjonen og den naturlige logaritmefunksjonen er den inverse funksjonen av hverandre.
Den inverse funksjonen til en matematisk funksjon \(y=f(x)\) er funksjonen der man finner \(x\) uttrykt ved hjelp av \(y\). Den skrives ofte \( x=f^{-1}(y)\). En invers funksjon kalles også en omvendt funksjon.
Faktaboks
Også kjent som
omvendt funksjon
For funksjonen \(y=f(x)\) er \(x\) den uavhengige variabelen, og \(y\) er den avhengige variabelen. Dersom \(x\) er kjent, er altså \(y\) entydig bestemt ved funksjonen \(f\). Om man derimot starter med \(y\), og finner en entydig \(x\) slik at \(y=f(x)\), er dette den inverse funksjonen til \(f\). For at den inverse skal være en funksjon, må \(x\) være entydig bestemt ut fra \(f^{-1}(y)\)
Grafisk fremstiller man den inverse funksjonen som refleksjonen av den opprinnelige funksjonen om den rette linjen \(y=x\).
En funksjon \(f\) er definert fra sin definisjonsmengde til sin verdimengde. Den inverse funksjonen er en funksjon fra verdimengden til definisjonsmengden. Den er bare veldefinert dersom \(f\) er en injeksjon.
Eksempler
For funksjonen \(y=f(x)=2x\), så er den inverse funksjonen \(x=f^{-1}(y)=y/2\).
For \(y=f(x)=e^x\), så er det \(x=f^{-1}(y)=\ln(y)\). Det vil si at eksponentialfunksjonen og den naturlige logaritmefunksjonen er inverse funksjoner.
Ikke alle funksjoner har en invers funksjon. Funksjonen \(y=y(x)=x^2\) har for eksempel ikke en invers funksjon. Ta for eksempel \(y=4\). Da vil både verdiene \(x=2\) og \(x=-2\) gjøre at \(y=x^2\), og dermed er ikke \(x\) entydig.