krumning – Store norske leksikon (original) (raw)
Krumning er innen matematikk et mål på hvor mye en kurve krummer seg. Sirkelen er den eneste plane kurven som har samme krumning overalt. Desto større radius en sirkel har, desto mindre krummer den seg. Målet for krumning er \(\frac 1r\), der \(r\) er sirkelens radius.
Plane kurver
For andre plane kurver kan krumningen variere fra punkt til punkt. Når man angir krumningen til en kurve i et bestemt punkt, bestemmer man først den sirkelen som tangerer punktet som avviker minst fra kurven i nærheten av punktet. Denne sirkelen kalles krumningssirkelen (også kalt den oskulerende sirkelen) for kurven i dette punktet. Sentrum for denne sirkelen er krumningssenteret, radius til sirkelen er krumningsradien, og krumningen til sirkelen er kurvens krumning i punktet.
Hvis \(y = f(x)\) er ligningen til kurven, er krumningsradien \(r\) bestemt ved formelen
\[r=\frac{1}{y''}(1+y'^2)^{\frac{3}{2}}\]
Her er \(y'\) den deriverte av funksjonen \(f\), og \(y''\) er den andrederiverte. Det geometriske sted for krumningssentrene til alle punkter på kurven er kurvens evolute.
Ikke-plane kurver
For ikke-plane kurver definerer man krumningssirkelen på samme måte, men her angir man også hvor fort krumningssirkelens plan (oskulasjonsplanet) dreier seg. Målet for dette er torsjon.
Når det gjelder krumningen til en flate i et punkt, legger man plane snitt gjennom flatens normal, såkalte normalsnitt. Som regel har disse snittene forskjellig krumning. De to snittene som har den største og den minste krumningen, blir kalt hovedsnittene, og i deres plan ligger flatepunktets hovedtangenter. Hovedsnittene står vinkelrett på hverandre, og deres krumningsradier \(R_1\) og \(R_2\) blir kalt hovedkrumningsradier. Størrelsen \(\frac{R_1 + R_2}{2}\) blir kalt middelkrumningen, mens totalkrumningen er \(\frac{1}{R_1R_2}\).
Krumning i høyere dimensjoner
Man kan også innføre begrepet krumning for rom eller flater av høyere dimensjoner. Dette generelle krumningsbegrepet spiller en rolle i den generelle relativitetsteorien, og det blir studert ved hjelp av tensorregningen.