Marcelo Firer | Universidade Estadual de Campinas (original) (raw)

Papers by Marcelo Firer

Revista Professor de Matemática On line, 2022

2017 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), 2017

SpringerBriefs in Mathematics, 2018

Poset Codes: Partial Orders, Metrics and Coding Theory, 2018

We briefly introduce some very basic facts about the theory of error correcting codes or coding t... more We briefly introduce some very basic facts about the theory of error correcting codes or coding theory. To be more precise, we introduce those basic facts that are related to or dependent on the concept of metric. Many hypothesis are presented in a simplified form or in a restricted context, except for the concept of metric, which is considered in full generality, not really specified at this point, since this is the main goal of these notes: to show the role that different metrics may have in the context of coding theory and to present some interesting questions and bias to the study of finite metric spaces that arouse from coding theory problems and invariants.

Poset Codes: Partial Orders, Metrics and Coding Theory, 2018

The study of codes for the Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman metric has a long history of parallel... more The study of codes for the Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman metric has a long history of parallel developments.

Ate o trabalho presente, so era conhecido o raio de empacotamento de um codigo poset nos casos do... more Ate o trabalho presente, so era conhecido o raio de empacotamento de um codigo poset nos casos do poset ser uma cadeia, hierarquico, a uniao disjunta de cadeias do mesmo tamanho, e para algumas familias de codigos. Nosso objetivo e abordar o caso geral de um poset qualquer. Para isso, iremos dividir o problema em dois. A primeira parte consiste em encontrar o raio de empacotamento de um unico vetor. Veremos que este problema e equivalente a uma generalizacao de um problema NP-dificil famoso conhecido como o problema da particao". Veremos entao os principais resultados conhecidos sobre este problema dando atencao especial aos algoritmos para resolve-lo. A receita principal destes algoritmos e o metodo da diferenciacao, e sendo assim, iremos estende-la para o caso geral. A segunda parte consiste em encontrar o vetor que determina o raio de empacotamento do codigo. Para isso, mostraremos como e as vezes possivel comparar o raio de empacotamento de dois vetores sem calcula-los expl...

Journal of Applied Mathematics and Computing, 2008

... In this paper we have not considered the construction of GUSS from other integer rings differ... more ... In this paper we have not considered the construction of GUSS from other integer rings different from Z[i] and Z[ω] because all the signal sets identified by the elements of these integer rings do not have the ... (1991) from the State University of Campinas (UNI-CAMP), Brazil, and ...

Discrete Mathematics, 2014

arXiv: Information Theory, Nov 30, 2016

Seja G uma arvore homogenea e Aut(G) seu grupo de automorfismos. Um automorfismo f I Aut(G) e par... more Seja G uma arvore homogenea e Aut(G) seu grupo de automorfismos. Um automorfismo f I Aut(G) e par se d(f(x),x) o0 mod 2 para todo vertice x I G, onde d(.,.) e a funcao distância definida pelo comprimento do menor caminho ligando os vertices. O conjunto Aut+(G) de todos os automorfismos pares e um subgrupo de indice 2 em Aut(G). Definimos uma geodesica g I G como um subgrafo isomorfo a Z (onde Z e visto como um grafo que possui arestas unindo inteiros consecutivos). Uma reflexao em uma geodesica g e um automorfismo involutivo f (f² =1) tal que f(x) = x se, e somente se, x I G. Denotamos por R o conjunto de todas as reflexoes em geodesicas. Neste trabalho (Capitulo 2) provamos que, dada uma arvore homogenea de grau par G, o numero de cobertura de Aut+(G) pelas reflexoes em geodesicas e 11, no seguinte sentido: dado f I Aut+(G) existem f1, f2,... fk com k £ 11, tais que f(x) = fk °fk-1°...°f1(x) para todo vertice x em G. Alem disso, considerando arvores homogeneas, sabemos que o grupo de automorfismos e completo e o subgrupo de automorfismos pares e simples. Flexibilizamos a condicao de homogeneidade e conseguimos demonstrar (Capitulo 3) para o caso de arvores semi-homogeneas, que o grupo de automorfismos e simples e completo Abstract

Neste trabalho, utilizando a decomposicao canonica para codigos em espacos munidos de metricas de... more Neste trabalho, utilizando a decomposicao canonica para codigos em espacos munidos de metricas definidas por ordens parciais hierarquicas, sao apresentadas formulas explicitas para os principais parâmetros de um codigo linear (distância minima, raios de empacotamento, de cobertura e de Chebyshev) em termo dos correspondentes na metrica de Hamming. Alem disso, e apresentada uma serie de propriedades que caracterizam as metricas definidas por ordens parciais hierarquicas, sendo algumas das caracteristicas originais e, para todas estas propriedades, apresentamos demonstracoes originais, simples e curtas. Abstract

In this work we prove that a poset-block space admits a MacWilliams-type identity if and only if ... more In this work we prove that a poset-block space admits a MacWilliams-type identity if and only if the poset is hierarchical and at any level of the poset, all the blocks have the same dimension. When the poset-block admits the MacWilliams-type identity we explicit the relation between the weight enumerators of a code and its dual.

In this work we show how to decompose a linear code relatively to any given poset metric. We prov... more In this work we show how to decompose a linear code relatively to any given poset metric. We prove that the complexity of syndrome decoding is determined by a maximal (primary) such decomposition and then show that a refinement of a partial order leads to a refinement of the primary decomposition. Using this and considering already known results about hierarchical posets, we can establish upper and lower bounds for the complexity of syndrome decoding relatively to a poset metric.

We present an algorithm that, given a channel, determines if there is a distance for it such that... more We present an algorithm that, given a channel, determines if there is a distance for it such that the maximum likelihood decoder coincides with the minimum distance decoder. We also show that any metric, up to a decoding equivalence, can be isometrically embedded into the hypercube with the Hamming metric, and thus, in terms of decoding, the Hamming metric is universal.

The most common decision criteria for decoding are maximum likelihood decoding and nearest neighb... more The most common decision criteria for decoding are maximum likelihood decoding and nearest neighbor decoding. It is well-known that maximum likelihood decoding coincides with nearest neighbor decoding with respect to the Hamming metric on the binary symmetric channel. In this work we study channels and metrics for which those two criteria do and do not coincide for general codes.

In this work we characterize the combinatorial metrics admitting a MacWilliams-type identity and ... more In this work we characterize the combinatorial metrics admitting a MacWilliams-type identity and describe the group of linear isometries of such metrics. Considering coverings that are not connected, we classify the metrics satisfying the MacWilliams extension property.

Revista brasileira de história da matemática (RBHM), 2020

O 18º problema proposto por Hilbert no Congresso Internacional de Matemática de 1900 coloca duas ... more O 18º problema proposto por Hilbert no Congresso Internacional de Matemática de 1900 coloca duas questões, dois desafios, a serem enfrentados pela comunidade matemática. Iremos tratar aqui do primeiro problema, sobre grupos cristalográficos, e da parte do segundo que se refere especificamente ao problema de empacotamento de esferas. Cada uma das duas questões é tratada em uma seção particular, ambas as seções estruturadas de modo similar.

SpringerBriefs in Mathematics, 2018

Revista Professor de Matemática On line, 2022

2017 IEEE International Symposium on Information Theory (ISIT), 2017

SpringerBriefs in Mathematics, 2018

Poset Codes: Partial Orders, Metrics and Coding Theory, 2018

We briefly introduce some very basic facts about the theory of error correcting codes or coding t... more We briefly introduce some very basic facts about the theory of error correcting codes or coding theory. To be more precise, we introduce those basic facts that are related to or dependent on the concept of metric. Many hypothesis are presented in a simplified form or in a restricted context, except for the concept of metric, which is considered in full generality, not really specified at this point, since this is the main goal of these notes: to show the role that different metrics may have in the context of coding theory and to present some interesting questions and bias to the study of finite metric spaces that arouse from coding theory problems and invariants.

Poset Codes: Partial Orders, Metrics and Coding Theory, 2018

The study of codes for the Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman metric has a long history of parallel... more The study of codes for the Niederreiter-Rosenbloom-Tsfasman metric has a long history of parallel developments.

Ate o trabalho presente, so era conhecido o raio de empacotamento de um codigo poset nos casos do... more Ate o trabalho presente, so era conhecido o raio de empacotamento de um codigo poset nos casos do poset ser uma cadeia, hierarquico, a uniao disjunta de cadeias do mesmo tamanho, e para algumas familias de codigos. Nosso objetivo e abordar o caso geral de um poset qualquer. Para isso, iremos dividir o problema em dois. A primeira parte consiste em encontrar o raio de empacotamento de um unico vetor. Veremos que este problema e equivalente a uma generalizacao de um problema NP-dificil famoso conhecido como o problema da particao". Veremos entao os principais resultados conhecidos sobre este problema dando atencao especial aos algoritmos para resolve-lo. A receita principal destes algoritmos e o metodo da diferenciacao, e sendo assim, iremos estende-la para o caso geral. A segunda parte consiste em encontrar o vetor que determina o raio de empacotamento do codigo. Para isso, mostraremos como e as vezes possivel comparar o raio de empacotamento de dois vetores sem calcula-los expl...

Journal of Applied Mathematics and Computing, 2008

... In this paper we have not considered the construction of GUSS from other integer rings differ... more ... In this paper we have not considered the construction of GUSS from other integer rings different from Z[i] and Z[ω] because all the signal sets identified by the elements of these integer rings do not have the ... (1991) from the State University of Campinas (UNI-CAMP), Brazil, and ...

Discrete Mathematics, 2014

arXiv: Information Theory, Nov 30, 2016

Seja G uma arvore homogenea e Aut(G) seu grupo de automorfismos. Um automorfismo f I Aut(G) e par... more Seja G uma arvore homogenea e Aut(G) seu grupo de automorfismos. Um automorfismo f I Aut(G) e par se d(f(x),x) o0 mod 2 para todo vertice x I G, onde d(.,.) e a funcao distância definida pelo comprimento do menor caminho ligando os vertices. O conjunto Aut+(G) de todos os automorfismos pares e um subgrupo de indice 2 em Aut(G). Definimos uma geodesica g I G como um subgrafo isomorfo a Z (onde Z e visto como um grafo que possui arestas unindo inteiros consecutivos). Uma reflexao em uma geodesica g e um automorfismo involutivo f (f² =1) tal que f(x) = x se, e somente se, x I G. Denotamos por R o conjunto de todas as reflexoes em geodesicas. Neste trabalho (Capitulo 2) provamos que, dada uma arvore homogenea de grau par G, o numero de cobertura de Aut+(G) pelas reflexoes em geodesicas e 11, no seguinte sentido: dado f I Aut+(G) existem f1, f2,... fk com k £ 11, tais que f(x) = fk °fk-1°...°f1(x) para todo vertice x em G. Alem disso, considerando arvores homogeneas, sabemos que o grupo de automorfismos e completo e o subgrupo de automorfismos pares e simples. Flexibilizamos a condicao de homogeneidade e conseguimos demonstrar (Capitulo 3) para o caso de arvores semi-homogeneas, que o grupo de automorfismos e simples e completo Abstract

Neste trabalho, utilizando a decomposicao canonica para codigos em espacos munidos de metricas de... more Neste trabalho, utilizando a decomposicao canonica para codigos em espacos munidos de metricas definidas por ordens parciais hierarquicas, sao apresentadas formulas explicitas para os principais parâmetros de um codigo linear (distância minima, raios de empacotamento, de cobertura e de Chebyshev) em termo dos correspondentes na metrica de Hamming. Alem disso, e apresentada uma serie de propriedades que caracterizam as metricas definidas por ordens parciais hierarquicas, sendo algumas das caracteristicas originais e, para todas estas propriedades, apresentamos demonstracoes originais, simples e curtas. Abstract

In this work we prove that a poset-block space admits a MacWilliams-type identity if and only if ... more In this work we prove that a poset-block space admits a MacWilliams-type identity if and only if the poset is hierarchical and at any level of the poset, all the blocks have the same dimension. When the poset-block admits the MacWilliams-type identity we explicit the relation between the weight enumerators of a code and its dual.

In this work we show how to decompose a linear code relatively to any given poset metric. We prov... more In this work we show how to decompose a linear code relatively to any given poset metric. We prove that the complexity of syndrome decoding is determined by a maximal (primary) such decomposition and then show that a refinement of a partial order leads to a refinement of the primary decomposition. Using this and considering already known results about hierarchical posets, we can establish upper and lower bounds for the complexity of syndrome decoding relatively to a poset metric.

We present an algorithm that, given a channel, determines if there is a distance for it such that... more We present an algorithm that, given a channel, determines if there is a distance for it such that the maximum likelihood decoder coincides with the minimum distance decoder. We also show that any metric, up to a decoding equivalence, can be isometrically embedded into the hypercube with the Hamming metric, and thus, in terms of decoding, the Hamming metric is universal.

The most common decision criteria for decoding are maximum likelihood decoding and nearest neighb... more The most common decision criteria for decoding are maximum likelihood decoding and nearest neighbor decoding. It is well-known that maximum likelihood decoding coincides with nearest neighbor decoding with respect to the Hamming metric on the binary symmetric channel. In this work we study channels and metrics for which those two criteria do and do not coincide for general codes.

In this work we characterize the combinatorial metrics admitting a MacWilliams-type identity and ... more In this work we characterize the combinatorial metrics admitting a MacWilliams-type identity and describe the group of linear isometries of such metrics. Considering coverings that are not connected, we classify the metrics satisfying the MacWilliams extension property.

Revista brasileira de história da matemática (RBHM), 2020

O 18º problema proposto por Hilbert no Congresso Internacional de Matemática de 1900 coloca duas ... more O 18º problema proposto por Hilbert no Congresso Internacional de Matemática de 1900 coloca duas questões, dois desafios, a serem enfrentados pela comunidade matemática. Iremos tratar aqui do primeiro problema, sobre grupos cristalográficos, e da parte do segundo que se refere especificamente ao problema de empacotamento de esferas. Cada uma das duas questões é tratada em uma seção particular, ambas as seções estruturadas de modo similar.

SpringerBriefs in Mathematics, 2018