Конечные группы, в которых каждая 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами (original) (raw)

Abstract

Описана структура конечных групп, в которых каждая 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами. Библиография: 19 названий.

Loading...

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

References (22)

  1. Это противоречие показывает, что Q является нормальной подгруппой в T . Таким образом, Q -нормальная подгруппа в G. Но это противоречит строению группы G/M G . Следовательно, T -ненормальная подгруппа в G и поэтому согласно наше- му предположению о группе G G/T G является группой типа (1) из леммы 2.4. Но это, как и выше, позволяет показать, что G является группой типа (1). Если r = p, то аналогично можно убедиться, что G является группой типа (1). Допустим теперь, что r = q. Тогда M является силовской q-подгруппой в G. Так как G сверхразрешима, то P нормальна в G и поэтому G является группой типа (3). Достаточность. Пусть T -максимальная подгруппа в G и K -3-максимальная подгруппа в G. Мы докажем, что K и T перестановочны. Если |G| = p α q β r γ , где p, q, r -простые числа и α + β + γ 3, либо G изоморфна SL(2, 3), то это очевидно. Предположим, что G -сверхразрешимая группа одного из типов (1)-(3). Тогда |G : T | -простое число. Допустим, что G -группа типа (1). Предположим, что r ̸ = p (случай, когда r = p, рассматривается аналогично). Пусть Q и R -силовские q-подгруппа и r-подгруппа в M соответственно. Тогда |R| = r и поскольку группа G сверхразрешима, по край- ней мере, одна из подгрупп R или Q нормальна в M . Предположим, что R нор- мальна в M . Тогда R, будучи характеристической в M G , является нормальной в G. Если |G : T | = q, то P T . Следовательно, TM = G и T = T ∩ PM = P (T ∩ M ). Так как по условию имеет место |M : M G | = q, подгруппа M G q-замкнута и группа Q является циклической, максимальная подгруппа Q 1 из Q нормальна в G. А по- скольку q = |G : T | = |M : T ∩ M |, T ∩ M = RQ 1 является нормальной подгруппой в G, что влечет нормальность подгруппы T в G. Поэтому TK = KT . Допустим, что |G : T | = p. Тогда T = RQ x = M x для некоторого x ∈ G. Если |G : K| = rq 2 или |G : K| = q 3 , то G = TK = KT . Пусть |G : K| = pqr. Тогда K является q-группой и поэтому для некоторого y ∈ G имеет место K Q y и |Q y : K| = q. Но тогда K = M G ∩ Q y M x = T , что влечет TK = T = KT . Аналогично, если |G : K| = pq 2 , то K M G и поэтому TK = T = KT . Случай, когда |G : T | = r, рассматривается аналогично. Предположим теперь, что подгруппа Q является нор- мальной в M . Заметим, что максимальная подгруппа Q 1 группы Q нормальна в G. Действительно, так как по условию подгруппа M G является q-замкнутой и, очевид- но, Q 1 -силовская q-подгруппа в M G , то Q 1 характеристична в M G , что влечет нормальность этой подгруппы в G. Следовательно, RQ 1 = M G -единственная подгруппа группы G с индексом q. Но тогда группа M является нильпотентной и поэтому R нормальна в M . Мы пришли к случаю, который нами уже рассмотрен. Аналогично рассматриваются случаи, когда G -группа одного из типов (2) или (3). Доказательство теоремы завершено. Следствие 3.2. Если каждая 3-максимальная подгруппа группы G перестано- вочна со всеми максимальными подгруппами группы G и |π(G)| > 3, то G нильпо- тентна. В заключение отметим, что все классы групп, принадлежащие к типам, описан- ным в теореме 3.1, являются непустыми. Пусть p, r и q -простые числа и q делит оба числа p -1 и r -1. Пусть P , R и Q -группы порядков p, r и q соответственно. Тогда обе группы Aut(P ) и Aut(R) ГО ВЭНЬБИНЬ, Е. В. ЛЕГЧЕКОВА, А. Н. СКИБА имеют подгруппу порядка q и поэтому существуют неабелева группа M = [R]Q, где Q = ⟨a⟩ -циклическая группа порядка q 2 и C Q (R) = ⟨a q ⟩, и сверхразрешимая ненильпотентная группа G = [P ]M , где C M (P ) = R⟨a q ⟩ = R × ⟨a q ⟩ = M G . Понятно, что G -группа типа (1) из теоремы 3.1. Аналогично может быть построена группа типа (2).
  2. Пусть Q = ⟨x, y | x 9 = y 3 = 1, x y = x 4 ⟩ и Z 7 -группа порядка 7. Тогда Ω 1 (Q) = Ω является абелевой группой порядка 9. Так как факторгруппа Q/Ω изоморфна под- группе Z 3 порядка 3 группы автоморфизмов Aut Z 7 , мы можем построить G = [Z 7 ]Q. Понятно, что ⟨y⟩ является 3-максимальной подгруппой в G и ⟨y⟩ -ненормальная подгруппа в G. Несложно проверить, что все, отличные от Ω максимальные под- группы группы Q, являются циклическими и поэтому G -группа типа (3). Этот пример показывает, что класс групп, в которых каждая 3-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами, шире класса групп, в кото- рых все их 3-максимальные подгруппы нормальны. В заключение отметим следующий открытый вопрос, который нам кажется впол- не естественным ввиду леммы 2.5 и теоремы 3.1: каково точное строение нениль- потентной группы G, в которой все 3-максимальные подгруппы F (G)-перестано- вочны со всеми максимальными подгруппами? Авторы выражают глубокую благодарность рецензенту, указавшему на пробел в первоначальной версии доказательства леммы 2.5, и за другие полезные замеча- ния. СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
  3. B. Huppert, "Normalteiler und maximale Untergruppen endlicher Gruppen", Math. Z., 60 (1954), 409-434.
  4. Z. Janko, "Finite groups with invariant fourth maximal subgroups", Math. Z., 82 (1963), 82-89.
  5. M. Suzuki, "The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order", Proc. Amer. Math. Soc., 8:2 (1957), 686-695.
  6. Z. Janko, "Endliche Gruppen mit lauter nilpotenten zweitmaximalen Untergruppen", Math. Z., 79 (1962), 422-424.
  7. В. А. Белоногов, "Конечные разрешимые группы с нильпотентными 2-максимальны- ми подгруппами", Матем. заметки, 3:1 (1968), 21-32.
  8. В. Н. Семенчук, "Разрешимые группы со вторыми максимальными сверхразрешимы- ми подгруппами", Вопросы алгебры, Вып. 1, Университетское, Минск, 1985, 86-96.
  9. T. M. Gagen, Z. Janko, "Finite simple groups with nilpotent third maximal subgroups", J. Austral. Math. Soc., 6:4 (1966), 466-469.
  10. R. K. Agrawal, "Generalized center and hypercenter of a finite group", Proc. Amer. Math. Soc., 58 (1976), 13-21.
  11. Л. Я. Поляков, "Конечные группы с перестановочными подгруппами", Конечные группы, Наука и техника, Минск, 1966, 75-88.
  12. X. Y. Guo, K. P. Shum, "Cover-avoidance properties and the structure of finite groups", J. Pure Appl. Algebra, 181:2-3 (2003), 297-308.
  13. Li Shirong, "Finite non-nilpotent groups all of whose second maximal subgroups are TI-groups", Math. Proc. R. Ir. Acad., 100A:1 (2000), 65-71.
  14. W. Guo, K. P. Shum, A. N. Skiba, "X-semipermutable subgroups of finite groups", J. Al- gebra, 315:1 (2007), 31-41.
  15. Baojun Li, A. N. Skiba, "New characterizations of finite supersoluble groups", Sci. China Ser. A, 51:5 (2008), 827-841.
  16. W. Guo, H. V. Legchekova, A. N. Skiba, "On finite groups in which every 2-maximal sub- group permutes with all 3-maximal subgroups", Comm. Algebra (to appear).
  17. W. Guo, H. V. Legchekova, A. N. Skiba, On finite groups in which every 2-maximal subgroup permutes with all 3-maximal subgroups, Препринт № 10, Гомель, Гомельский гос. ун-т им. Франциска Скорины, 2008.
  18. А. Н. Скиба, "H-permutable subgroups", Изв. Гомельск. гос. ун-та им. Ф. Скорины, 2003, № 4, 37-39.
  19. Л. А. Шеметков, Формации конечных групп, Современная алгебра, Наука, М., 1978.
  20. B. Huppert, Endliche Gruppen. I, Grundlehren Math. Wiss., 134, Springer-Verlag, Ber- lin-Heidelberg-New York, 1967.
  21. В. С. Монахов, Введение в теорию конечных групп и их классов, Вышейшая школа, Минск, 2006.
  22. Го Вэньбинь Суйджойский педагогический университет, Китай E-mail : wbguo@xznu.edu.cn Е. В. Легчекова Белорусский торгово-экономический университет потребительской кооперации E-mail : e.legchekova@tut.by А. Н. Скиба Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины E-mail : alexander.skiba49@gmail.com Поступило 11.09.2008 Исправленный вариант 08.01.2009