Обобщенный совместный спектральный радиус. Геометрический подход (original) (raw)

Обобщенный совместный спектральный радиус. Геометрический подход

1997, Известия Российской академии наук. Серия математическая

Обобщенный совместный спектральный радиус. Геометрический подход В работе исследуются свойства совместного спектрального радиуса с произ вольным показателем р £ [1, +оо] нескольких конечномерных линейных операто ров А ъ ..., А к : 1 / 1 ^ \ рп РР = ^Л-^2^\\ А <у(1)-• • А <у(п)\\ р) , Р<оо, 1 Poo = Jm^ m^X \\ А а(1) * * * Ах(п) II п , где суммирование и максимум берутся по всем отображениям а: {1,...,п}-> {1,...,/с}. Обобщается теорема Дранишникова-Конягина об инвариантных выпуклых телах (установленная ранее только для случая р = сю), для чего использова на операция обобщенного сложения выпуклых множеств. Работу заключает не сколько утверждений о свойствах инвариантных тел и об их связи с величиной р~р. Проблема вычисления рр для целых четных значений р сведена к поиску обыч ного спектрального радиуса подходящего конечномерного оператора, для прочих значений р построен геометрический аналог поиска с заданной точностью и оце нена его сложность. Библиография: 12 наименований. §1. Введение В данной статье автор обобщает некоторые результаты работы [4], посвящен ной геометрическому подходу к проблеме совместного спектрального радиуса не скольких линейных операторов. Мы будем придерживаться следующих обозна чений: Ш-евклидово пространство; «S?(R)-пространство линейных операто ров, действующих в ~R d ; N-множество натуральных чисел; Conv(X, Y) = {Хх + (1-Х)у | х G X, у G Y, A G [0,1]}-выпуклая оболочка множеств X,Y С R d. Для каждого оператора В G ^£{R d) через р(В) обозначим его спектральный ра диус (максимальный из модулей его собственных значений). Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис следований (грант 96-01-00378).