Étude de la conjecture de Seymour sur le second voisinage (original) (raw)

Dans la suite, on suppose que les digraphes ne contiennent pas de boucle ni digon. Chemin. Un chemin P est un graphe avec un ensemble des sommets {v 1 , ..., v n } et un ensemble d'arêtes v i v i+1 pour i<n. Un chemin noté par v 1 v 2 ...v n est dit un v 1 v n-chemin ou un chemin de v 1à v n. Chemin orienté. Un chemin orienté P est un digraphe avec V (P)= {v 1 , ..., v n } et E(D)={(v i ,v i+1),i < n}. Un tel chemin est dit v 1 v n-chemin orienté. Onécrit P = v 1 ...v n. Cycle. Un cycle C est un graphe de sommets {v 1 , ..., v n } et d'arêtes v i v i+1 pour i<nplus l'arête v n v 1 .O nécrit C = v 1 ...v n. Circuit. Un circuit C est un digraphe avec un ensemble de sommets 9 {v 1 , ..., v n } et d'arcs (v i ,v i+1) pour i<nplus l'arc (v n ,v 1). Onécrit C = v 1 ...v n. Connexe. Un graphe G est connexe si tous deux sommets sont liés par un chemin. Fortement connexe. Un digraphe D est fortement connexe si pour tous deux sommets x et y, il existe un xy-chemin orienté. Arbre. Un arbre est un graphe connexe sans cycle. Arboresence. Une arbresence sortante (resp. rentrante) est un arbre orienté tel que, tous les sommets, sauf exactement un sommet sont de degré intérieur 1 (resp. extérieur 1). Etoile. Uneétoile est un arbre formé par un sommets et ses voisins. Couplage. Un couplage est un ensemble d'arcs (ou d'arêtes) deuxà deux disjoints. Stable. Un stable est un ensemble de sommets deuxà deux non adjacents. Graphe complet. Un graphe est dit complet si xy ∈ E(G) pour tous 2 sommets distincts x et y de V (G). Tournoi. Un tournoi est une orientation d'un graphe complet. Triangle. Un triangle est une cycle ayant 3 sommets. Un triangle dans un digraphes est dit cyclique s'il est un circuit. Sinon, il est acyclique. Carré. Un carré est une cycle ayant 4 sommets exactement. Roi. Un roi dans un digraphe D est un sommet x tel que {x}∪N + D (x)∪ N ++ D (x)=V (D). Degrés de digraphe. Le degré minimum de D est δ D = min{d(x); x ∈ V (D)}. Le degré extérieur minimum de D est δ + D = min{d + (x); x ∈ V (D)}. Le degré extérieur maximum de D est max{d + (x); x ∈ V (D)}. Le degré intérieur minimum de D est δ − D = min{d − (x); x ∈ V (D)}.