Ступенчато-аффинные функции, полупространства и отделимость выпуклых множеств с приложениями к выпуклым задачам оптимизации (original) (raw)

Ступенчато-аффинные функции, полупространства и отделимость выпуклых множеств с приложениями к выпуклым задачам оптимизации

2020, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN

В статье приводится определение ступенчато-аффинных функций, определенных на вещественном векторном пространстве, и устанавливается их двойственность полупространствам выпуклым множествам, дополнения которых также выпуклы. С использованием этой двойственности доказывается, что два выпуклых подмножества вещественного векторного пространства не пересекаются тогда и только тогда, когда они отделимы некоторой ступенчато-аффинной функцией. Фактически данный критерий непересекаемости выпуклых множеств является аналитическим вариантом критерия Какутани Тьюки об отделимости непересекающихся выпуклых множеств полупространствами. В качестве приложений получены критерий минимальности решений для выпуклых задач векторной оптимизации, рассматриваемых в вещественных векторных пространствах без топологии, и критерий оптимальности допустимых точек в классических задачах выпуклого программирования, не удовлетворяющих условию регулярности Слейтера. Ключевые слова: ступенчато-аффинные функции, полупространства, отделимость выпуклых множеств, выпуклые задачи векторной оптимизации, выпуклое программирование. V. V. Gorokhovik. Step-affine functions, half-spaces, and separation of convex sets with applications to convex optimization problems. We present the definition of step-affine functions defined on a real vector space and establish the duality between step-affine functions and half-spaces, i.e., convex sets whose complements are convex as well. Using this duality, we prove that two convex sets are disjoint if and only if they are separated by some step-affine function. This criterion is actually the analytic version of the Kakutani-Tukey criterion of the separation of disjoint convex sets by half-spaces. As applications of these results, we derive a minimality criterion for solutions of convex vector optimization problems considered in real vector spaces without topology and an optimality criterion for admissible points in classical convex programming problems not satisfying the Slater regularity condition.