SOBRE EL PRIMER Y SEGUNDO TEOREMA DE NOETHER (original) (raw)

Las ecuaciones generales de la Mecánica, del electromagnetismo, etc., son derivables de tales principios variacionales, este procedimiento proporciona las bases mas apropiadas para el estudio sistemático de teoremas de conservación. En el capítulo I de este trabajo daremos un review sistemático de estas materias con el fin de clarificar la relación entre las ecuaciones del movimiento y transformaciones de simetría y los teoremas de conservación que se determinan a partir de tales transformaciones. En el capítulo II, formularemos el segundo teorema de Noether, y derivaremos, bajo ciertas propiedades de simetría las identidades de Bianchi. Además derivaremos el Tensor Energía Impulso. En estos dos capítulos y en el tercero se presentan ejemplos completamente desarrollados a fin de ilustrar los principios. En este trabajo consideraremos una generalización del teorema de Noether. Cuando un sistema físico tiene algunas propiedades de simetría, tal sistema es descrito por ecuaciones de movimiento invariantes bajo los correspondientes grupos de transformaciones. El Lagrangiano de este sistema no necesita ser invariante y puede ser gauge-variant, es decir, varía por la adición de una derivada total de tiempo. Para tales casos, todavía existe cierta forma generalizada del teorema de Noether, que todavía lleva a leyes de conservación. La importancia de considerar tales lagrangianos no-invariantes y las leyes de conservación asociadas e ilustrada por varios ejemplos: conservación de la energía, invariancia galileana, simetrías dinámicas (oscilador armónico y problema de Kepler), movimientos en un campo eléctrico uniforme. Esta amplia y detallada formulación del primer y segundo teorema de Noether, va mucho más allá de lo que ofrece un libro de mecánica de pregrado como el de J. B. Marion y S. T. Thornton, y como el que ofrece un libro de posgrado como el de H. Goldstein. En cualquier caso, la detallada formulación del primer y segundo teorema de Noether que aquí presentamos de un manera didáctica y con muchos ejemplos le va a permitir al estudiante adquirir una mejor comprensión física y matemática de estos teoremas que son vitales en la formulación de las leyes de conservación tanto en el ámbito de la mecánica clásica, la relatividad y la mecánica cuántica.