Vers une modélisation optique générique des signatures spectrales d'objets (original) (raw)
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Duke Mathematical Journal, 2001
Consider a volume preserving vector field defined in some compact domain of 3space and tangent to its boundary. A long piece of orbit can be made into a knot by connecting its endpoints by some arc whose length is less than the diameter of the domain. In this paper, we study the behaviour of the signatures of these knots as the lengths of the pieces of orbits go to infinity. We relate this "asymptotic signature" to the "asymptotic Hopf invariant" that has been studied by Arnold. 1. Des noeuds aux champs de vecteurs Considérons un domaine compact D de l'espace R 3 bordé par une surface lisse, et un champ de vecteurs X de classe C ∞ défini sur D et tangent au bord. Les orbites périodiques de X nous fournissent un système de noeuds et d'entrelacs dont l'étude est parfois source d'informations importantes sur la dynamique globale du champ considéré (voir [3] et [8]). Pourétudier les noeuds et les entrelacs nous disposons d'une importante collection d'invariants ; certains sontélémentaires (comme, p. ex., le nombre minimum de croisements d'une projection d'un noeud) et d'autres beaucoup plusélaborés (comme les polynômes de Jones) ; voir [5], [12], [16], et [17]. Dans le cadre dynamique d'un champ de vecteurs, il est tentant d'essayer de généraliser ces invariantsà d'autres objets que les orbites périodiques et l'idée naturelle est d'étendre leur définition aux mesures invariantes du champ de vecteurs. C'est dans cet esprit que V. Arnold [2], [3] définit un invariant associé aux champs de vecteurs qui préservent une forme volume. Cet invariant généralise la notion de nombre d'enlacement de paires d'orbites périodiques. Le but de cet article est d'étudier un autre invariant des noeuds, la signature, de le généraliser aux mesures invariantes d'un champ de vecteurs et d'établir un lien entre cette signature asymptotique et l'invariant introduit par Arnold.
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2016
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