Zu einer Arbeit von J. L. Berggren über ambivalente Gruppen (original) (raw)

1970, Pacific Journal of Mathematics

Gruppen, in denen jedes Element zu seinem Inversen konjugiert ist, oder, was dasselbe ist: deren samtliche Charaktere iiber dem Kδrper C der komplexen Zahlen reell sind, heissen ambivalent. Die Tatsache, dass jede 2-Gruppe in eine ambivalente Gruppe eingebettet werden kann, ergibt sich daraus, dass die 2-Sylowuntergruppen symmetrischer Gruppen S n ambivalent sind, was wiederum mit der Assoziativitat der Bildung des Kranzprodukts aus dem Ergebnis folgt, dass mit G auch das Kranzprodukt G I S 2 ambivalent ist (J. L. Berggren in Pacific J. Math. 28 (1969), 289-293). Diese Arbeit Berggrens hat weiter zum Inhalt, dass unter den alternierenden Gruppen genau die A n mit Tie {1, 2, 5, 6,10,14} und dass gewisse aus einer Klasse von G. A. Miller definierter Gruppen ambivalent sind. Dazu werden hier einige Bemerkungen gemacht: Mit G ist auch G I S n ambivalent. Es wird auch die vom darstellungstheoretischen Standpunkt her scharfere Frage gestellt, wann alle gewδhnlichen irreduziblen Darstellungen nicht nur reellen Charakter haben, sondern sogar zu reellen Darstellungen Equivalent sind. Im Fall der sechs ambivalenten alternierenden Gruppen gilt das nur in den beiden trivialen Fallen Λι = A 2 = {1}. Fiir Kranzprodukte ergibt sich: Sind alle gewδhnlichen irreduziblen Darstellungen von G, H und von gewissen Unter gruppen von H zu reellen Darstellungen aquivalent, dann auch alle von G I H. Ist G oder H nicht ambivalent, dann auch G I H nicht.