Lucas y Penrose sobre los teoremas de Gödel (original) (raw)
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El matemático alemán David Hilbert (1862-1943), considerado el arquitecto de la matemática moderna y pionero de su fundamentación formal, fue una de las figuras más influyentes en el pensamiento matemático del siglo XIX y principios del XX. El enfoque formal de Hilbert determinó el cambio al sistema axiomático moderno. También contribuyó a la distinción entre matemática y Metamatemática, el estudio matemático de los fundamentos de las Matemáticas. Kurt Gödel y las Metamatemáticas Kurt Gödel revolucionó el campo de la lógica matemática, con una nueva frontera, la metalógica; la rama de la lógica que estudia las propiedades y los componentes de los Sistemas formales (SF), cuyas propiedades más importantes que se pueden demostrar son la consistencia * , decibilidad ** y completitud. *** Otra propiedad es la compacidad. **** * O consistencia lógica; la propiedad que tienen los SF cuando no es posible deducir una contradicción dentro del sistema. ** En metalógica, la decidibilidad es una propiedad de los SF cuando, para cualquier fórmula en el lenguaje del sistema, existe un método o procedimiento efectivo para determinar si esa fórmula pertenece o no al conjunto de las verdades del sistema. Por ejemplo, la lógica proposicional es decidible, porque existe un algoritmo (la tabla de verdad) que en un número finito de pasos puede decidir si la fórmula es válida o no. La lógica proposicional es un SF cuyos elementos más simples representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas (una expresión cuyo significado no varía con cada interpretación), representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones de mayor complejidad. Las conectivas lógicas, también llamadas operador lógico o conectores lógicos, es un símbolo o palabra que se utiliza para conectar dos fórmulas o sentencias bien formadas (atómicas o moleculares), de modo que el valor de verdad (1-0, V-F) de la fórmula compuesta depende del valor de verdad de las fórmulas componentes. En lógica difusa (o borrosa, que se basa en lo relativo de lo observado como posición diferencial), el valor de verdad es cualquier número real en el intervalo cerrado [0,1]. *** La completitud o completitud semántica, es la propiedad metateórica que tienen los SF cuando todas las fórmulas lógicamente válidas (todas las verdades lógicas) del sistema son además teoremas del sistema. Es decir, cuando el conjunto de las verdades lógicas del sistema es un subconjunto del conjunto de teoremas. El segundo teorema de incompletitud de Gödel demuestra que ningún sistema (definido recursivamente) con cierto poder expresivo, puede ser a la vez consistente y semánticamente completo. **** En lógica matemática, el teorema de compacidad establece que un conjunto (posiblemente infinito) de fórmulas bien formadas de la lógica de primer orden (o cálculo de predicados, con poder expresivo muy superior al de la lógica proposicional) tiene un modelo si todos sus subconjuntos finitos tienen un modelo. Es decir, para todo conjunto de fórmulas Γ de un lenguaje L, si todo finito de es satisfacible, entonces Γ se puede satisfacer
Genealogía de lo teorético. Lecturas heideggerianas de Husserl y Aristóteles
Signos Filosóficos, 2020
In this paper I want to follow the steps that, according to the early Heideg-ger, bring to the emergence of the theoretical attitude by means of the transformation of the genuine attitude of our being in the world. In the first part I present some basic aspects of the Heideggerian categories of the pre-theoretical life. In the second one, I expose how this genealogy produces an essential difference with respect to Husserl's phe-nomenological framework. In the third one I develop a correspondence between Heide-gger's genealogy of the theoretical and the one contained in the first book of Aristotle's Metaphysics. In the conclusion, I explain why according to Heidegger the Aristotelian prejudice about movement is the origin of the absolutization of the theoretical that lasts along the history of philosophy up to the present.
El matemático griego Euclides, hacia el año 300 a.C., escribió, desde su cátedra de Alejandría, los "Elementos", un tratado de geometría, seguida por aritmética, teoría de ecuaciones, etc.
Lo microfundado: Un contraste entre las teorías de Robert Lucas y Jens Beckert
En 1976, el economista Robert E. Lucas argumenta que la síntesis neoclási-ca-keynesiana incurre en un error al no considerar que las reacciones de los agentes se modifican ante cambios en la política económica; por ello, propone poner el foco en los " parámetros profundos " que implican las preferencias in-dividuales. La crítica de Lucas ha sido la base de los modelos macroeconómi-cos dominantes, microfundados a partir de agentes maximizadores que parten de expectativas racionales. Ahora bien, dadas las limitaciones que ha demos-trado este enfoque, en especial a la hora de abordar de manera satisfactoria las motivaciones que suscitan la acción, resulta pertinente incorporar y contrapo-ner el análisis de Jens Beckert, en tanto representa un cambio de perspectiva radical frente al abordaje dominante. Si, de acuerdo al autor, lo que motiva la acción económica es la intención " razonable " de obtener el mejor resultado, materializada a través de decisiones tomadas en base a " expectativas ficticias " , la posibilidad del cálculo-fundante en el modelo neoclásico-desaparece. En un contexto de incertezas, no hay cálculo racional posible. Esto permite resig-nificar el abordaje micro fundado, alejado del resultado determinista al que lo ha reducido el individualismo metodológico.
DOS VISIONES SOBRE LOS LÍMITES DE LA RAZÓN MATEMÁTICA DESCARTES Y GÖDEL
Darle vueltas filosóficas a la idea de infinito lleva al horror vacui. Y no sólo porque nos haga sentir la finitud como limitación, carencia y, por ende, dependencia, sino porque lleva a situaciones límites a la misma lógica de investigación científica desde el momento en que deba admitir su falibilismo ( Popper), la imposibilidad de garantizar para un constructo sistemático consistente la deducibilidad de una verdad que pudiera serlo entre otras posibles combinaciones lógicas ( Gödel), la inconmensurabilidad de los paradigmas teóricos ( T. Kuhn) o la fe cartesiana en que otras sistemáticas lógicas sólo son posibles a Dios que impone como necesaria sólo una a la mente finita de sus criaturas humanas.
LA IMPORTANCIA DEL TEOREMA GÖDELIANO EN EL PENSAMIENTO DE ROGER PENROSE
Naturaleza y Libertad, 2019
Resumen: La de Roger Penrose es una postura filosófica bien conocida, en concreto, la referida al debate de la computabilidad o no computabilidad de mente y la consciencia humana. En su primera exposición en La nueva mente del emperador encontramos los argumentos en contra de la IA fuerte. Pero solo en Las sombras de la mente se encuentra la base más firme de su posicionamiento, ya que allí realiza un análisis más profundo del teorema de Gödel, que es clave para entender su rechazo de la computabilidad como respuesta al citado debate. Palabras clave: Teorema de Gödel, incompletitud, reflexión, máquina de Turing. The importance of the Gödelian theorem in the thought of Roger Penrose Abstract: Roger Penrose's position is a well-known one in philosophical matters, specifically the one referred to the debate of computability or non-computability of mind and human consciousness. In his first exposition in The Emperor's New Mind we find the arguments against Strong AI. But it is not until Shadows of the mind where (in my opinion) the strongest basis of his positioning is found, because it carries out a deeper analysis of the acceptance of Gödel's theorem, which is the key to understanding the rejection of computability in response to the aforementioned debate.
Gódelitis: usos y abusos del teorema de Gödel
Pocos teoremas matemáticos han llamado la atención fuera de esta disciplina, generalmente considerada abstracta o alejada de la realidad cotidiana: el teorema de Fermat (cuya prueba fue encontrada apenas hace unos años por Andrew Wiles), el de Pitágoras (que todos hemos aprendido desde la primaria) y, sobre todo, el de Gödel.