CAPITULO IX PRIMITIVAS 1. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata (original) (raw)

Sendo f (x) uma função real de variável real definida no intervalo não degenerado I , chama-se primitiva de f (x) em I a qualquer função F (x) tal que F′ (x) = f (x) para to-dos os x ∈ I ; nas extremidades do intervalo a = Inf I e b = Sup I , caso lhe pertençam, a definição exige que F′ d (a) = f (a) e que F′ e (b) = f (b) , respectivamente. Vejamos alguns exemplos: 1) F (x) = x 2 é uma primitiva de f (x) = 2 x no intervalo ]-∞ , +∞ [ ; 2) F (x) = log x é uma primitiva de f (x) = 1/x no intervalo ] 0 , +∞ [ ; 3) F (x) = log | x | é uma primitiva de f (x) = 1/x no intervalo ]-∞ , 0 [ ; 4) F (x) = e x e G(x) = e x + 2 são duas primitivas de f (x) = e x em ]-∞ , +∞ [. Note-se que sendo F 0 (x) uma particular primitiva de f (x) em I , então qualquer função F (x) = F 0 (x) + k , com k constante, é igualmente primitiva de f (x) no intervalo I : se a derivada de F 0 (x) é f (x) em I , então também a derivada de F (x) = F 0 (x) + k é f (x) em I , porque a derivada de uma constante é zero. Inversamente , é fácil provar , utilizando um corolário do teorema de Lagrange , que sendo F 0 (x) e F (x) duas primitivas de uma mesma função f (x) em I , então F (x)-F 0 (x) = k (constante) , ou seja, F (x) = F 0 (x) + k. Em particular, qualquer primiti-va da função nula num intervalo é constante no intervalo em causa, porque F 0 (x) = 0 é uma primitiva da função nula. As considerações precedentes mostram que dada uma função f (x) definida num interva-lo I , desde que se conheça uma sua particular primitiva nesse intervalo, fica per-feitamente conhecida a família de todas as primitivas da função : designando por F 0 (x) uma particular primitiva de f (x) em I , a expressão geral das primitivas de f (x) em I é dada por F (x) = F 0 (x) + k. Uma particular primitiva de f (x) que é usada em diversas aplicações é a primitiva que se anula em certo ponto do intervalo I : sendo F 0 (x) uma particular primitiva de f (x) em I , da expressão geral das primitivas de f (x) em I , F (x) = F 0 (x) + k , resulta com k =-F 0 (a) a primitiva, 241