Polynôme en une indéterminée (original) (raw)
Enoncés 1 Polynôme en une indéterminée L'anneau des polynômes Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q 2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P • P = P d'inconnue P ∈ K [X]. Exercice 2 Mines-Ponts MP [ 02674 ] [correction] Trouver les P ∈ R [X] tels que P (X 2) = (X 2 + 1)P (X). Exercice 3 [ 02377 ] [correction] a) Pour n ∈ N, développer le polynôme (1 + X)(1 + X 2)(1 + X 4). .. (1 + X 2 n) b) En déduire que tout entier p > 0 s'écrit de façon unique comme somme de puissance de 2 : 1, 2, 4, 8,. .. Exercice 4 X MP [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 5 [ 03342 ] [correction] Soit P = a 0 + a 1 X + · · · + a n X n ∈ C [X]. On pose M = sup |z|=1 |P (z)| Montrer ∀k ∈ {0,. .. , n} , |a k | M (indice : employer des racines de l'unité) Dérivation Exercice 6 [ 02129 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) P 2 = 4P d'inconnue P ∈ K [X] b) (X 2 + 1)P − 6P = 0 d'inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 02130 ] [correction] Montrer que pour tout entier naturel n, il existe un unique polynôme P n ∈ R [X] tel que P n − P n = X n. Exprimer les coefficients de P n à l'aide de nombres factoriels. Exercice 8 X MP [ 02131 ] [correction] Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Exercice 9 [ 02132 ] [correction] Soit P ∈ K [X]. Montrer P (X + 1) = +∞ n=0 1 n! P (n) (X) Exercice 10 [ 03338 ] [correction] Trouver tous les polynômes P ∈ R [X] tels que ∀k ∈ Z, k+1 k P (t) dt = k + 1 Exercice 11 [ 03341 ] [correction] Soit P ∈ R [X]. On suppose que a ∈ R vérifie P (a) > 0 et ∀k ∈ N , P (k) (a) 0 Montrer que le polynôme P ne possède pas de racines dans [a, +∞[.
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