Оценка хроматических чисел евклидова пространства методами выпуклой минимизации (original) (raw)

Оценка хроматических чисел евклидова пространства методами выпуклой минимизации

2009, Математический сборник

Оценка хроматических чисел евклидова пространства методами выпуклой минимизации В работе изучаются хроматические числа евклидова пространства R n с k запрещенными расстояниями (т.е. числа, равные минимальным количествам цветов, в которые можно раскрасить все точки R n так, что никакие две точки одного цвета не находятся на запрещенном расстоянии друг от друга). Получены оценки показателей асимптотического роста хроматических чисел при n → ∞. Для этой цели использован разработанный ранее так называемый линейно-алгебраический метод, позволяющий свести задачу оценки хроматических чисел к некоторой экстремальной задаче. Для решения последней задачи в работе применен принципиально новый подход, основанный на теории выпуклых экстремальных задач и выпуклого анализа, что позволило получить искомые оценки для любых k. При этом для k 20 эти оценки найдены в явном виде и являются неулучшаемыми в рамках указанного выше метода. Библиография: 18 названий. Ключевые слова: хроматическое число, дистанционный граф, выпуклая оптимизация. § 1. Введение Пусть задан набор различных положительных чисел a 1 ,. .. , a k. Хроматическим числом евклидова пространства R n с множеством запрещенных расстояний A = {a 1 ,. .. , a k } называется величина χ(R n , A) = min χ : R n = V 1 ⊔ • • • ⊔ V χ , ∀ i ∀ x, y ∈ V i |x − y| / ∈ A. Иными словами, χ(R n , A)-это минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить все точки пространства так, чтобы точки одного цвета не находились бы друг от друга на расстоянии из множества A. Задача отыскания хроматического числа χ(R n , A) восходит к Э. Нелсону, Г. Хадвигеру и П. Эрдешу. Она была поставлена на рубеже 40-х и 50-х годов Работа В. Ю. Протасова выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-01-00208) и в рамках Программ поддержки молодых докторов на