Singularités non abordables par la géométrie (original) (raw)

1992, Annales de l’institut Fourier

suscite une infinité d'invariants analytiques et holomorphes (*) qui tous se lisent et se calculent sur l'équation du pont. En présence de quasirésonance pure, on se heurte aux "petits diviseurs liouvilliens". Le nombre d'invariants formels n'augmente pas et l'objet reste formellement linéarisable, mais pas analytiquement en général. Il existe donc des classes analytiques et des invariants analytiques non triviaux, mais pas d'invariants holomorphes. En présence de nihilence, on peut se heurter à des "petits diviseurs" du type de ceux qu'on rencontre en mécanique (sans qu'intervienne aucune condition arithmétique). De nombreux invariants formels surgissent. Il apparaît des classes analytiques non triviales; des invariants analytiques aussi; mais pas d'invariants holomorphes. Les trois phénomènes peuvent se superposer et on peut aussi (en grande dimension) rencontrer de la résonance, quasirésonance ou nihilence de "deuxième génération", "troisième génération" etc... Voir [E3]. L'objet de cet article est l'étude de la résonance, de ses effets et de son interaction avec les petits diviseurs (§ §7,8,9,11), spécialement dans les cas qui sont inaccessibles à la méthode "géométrique". Mais il nous faut commencer par étudier les petits diviseurs à l'état pur. Ce sera l'objet du §3, où nous introduisons la notion de moule et la technique d'arborification, puis du §4, où nous retrouvons les classiques théorèmes de linéarisation, mais d'une manière succincte, conceptuelle et d'avance adaptée aux généralisations ultérieures. 3. Rappels sur les moules et comoules. Arboriflcation et coarborification. Exemples. Séquences et séquences arborescentes. Fixons un semi-groupe additif fî. Une séquence sur îi est une suite totalement ordonnée a; = (0:1,... ,a/y.) d'éléments a/^ e îi, avec répétitions possibles. On note : (3.1) r(w) =r= longueur de w, |[a;[[ =0:1 4-• • • + o;y. = somme de a;. (*) invariant analytique signifie invariant relativement aux changements de carte analytiques; et holomorphe signifie fonction holomorphe de Fobjet, cf. §8. 80 JEAN ECALLE On note aussi w = CtAo/' la séquence formée des éléments de c»/ puis des éléments de a/'. Une séquence arborescente sur f2 est une suite 0;= (ù;!,...,^d 'éléments de fi avec sur les indices {!,..., r} un ordre arborescent : autrement dit, chaque i € {1,... ,r} possède au plus un antécédent, noté z_. On définit encore r(uf) et || w || comme en (3.1). On note c^= a?' (B a/' l'union disjointe de a/ et a;" avec conservation des ordres partiels de a/ et c»/' et incomparâbilité des éléments de a?' avec ceux de a?". 0 désigne la séquence vide. Un w est dit irréductible s'il ne possède pas de décomposition a/ Q a;" non triviale; autrement dit, s'il possède un plus petit élément. Algèbre des moules (ordinaires; symétrals; symétrels). < comme arbre, on a A^ = A^ évidemment mais en général B-^ B<. w w Exemples de moules. Dès la section suivante, nous aurons besoin de quatre moules élémentaires 5 e , $•, 5 e , S 9 définis par : (3.35) Â 0^0^0^^! (3.36) S^^'"^ =? (-in^i^ • • • ^r)~1 avec ^ == ^ + • • • + (3.37) S^-^ = (ûiÛ2 • • • ^r)~1 avec û, = ^ 4-• • • + ^r (3.