Dynamics of an oscillator with a quadratic nonlinearity in the expression of the elastic force loaded with a step pulse (original) (raw)
Related papers
On oscillations of an oscillator with cubic-nonlinear stiffness
Bulletin of the National Technical University «KhPI» Series: Dynamics and Strength of Machines, 2017
Розглянуто вільні коливання системи з одним ступенем вільності за умови, що відновлююча сила пружини пропорційна кубу її деформації. Задіяно дві форми аналітичного розв'язку нелінійного диференціального рівняння. В першій формі розв'язок виражено через еліптичний косинус, а в другий-через періодичні Ateb-функції. Складено таблиці для обчислень значень цих функцій і побудовано в безрозмірних координатах графіки, які спрощують розрахунки переміщень осцилятора у часі. Виведено формули для обчислення періодів коливань при наданні осцилятору початкового відхилення від положення рівноваги або початкової швидкості (миттєвого імпульса) в цьому положенні. Наведено приклади розрахунків з використанням відомих таблиць неповного еліптичного інтеграла першого роду та з використанням складеної таблиці періодичних Atebфункцій. Ключові слова: кубічно-нелінійний осцилятор, вільні коливання, еліптичний косинус, Ateb-функції, їх апроксимація. Рассмотрены свободные колебания системы с одной степенью свободы при условии, что восстанавливающая сила упругости пружины пропорциональна кубу ее деформации. Использовано две формы аналитического решения нелинейного дифференциального уравнения. В первой форме решение выражено через эллиптический косинус, а во второй-через ппериодические Ateb-функции. Составлены таблицы для вычислений значений этих функций и построены в безразмерных координатах графики, которые упрощают расчеты перемещений осциллятора во времени. Выведены формулы для вычисления периодов колебаний при сообщении осциллятору начального отклонения от положения равновесия или начальной скорости (мгновенного импульса) в этом положении. Приведены примеры расчетов с использованием известных таблиц неполного эллиптического интеграла первого рода и с использованием составленной таблицы периодических Ateb-функций. Ключевые слова: кубически-нелинейный осциллятор, свободные колебания, эллиптический косинус, Ateb-функции, их аппроксимация. Free oscillations of a system with one degree of freedom are considered under the condition that the restoring force of spring elasticity is proportional to the cube of its deformation. Two forms of analytical solution of the nonlinear differential equation are used. In the first form, the solution is expressed in terms of an elliptic cosine, and in the second, through periodic Atebfunctions. The tables for calculating the values of these functions are constructed and plotted in dimensionless graphs coordinates, which simplify the calculations of the oscillator movements in time. Formulas are derived for calculating the oscillation periods when the oscillator sends the initial deviation from the equilibrium position or the initial velocity (instantaneous pulse) in this position. Examples of calculations using known tables of an incomplete elliptic integral of the first kind and using a compiled table of periodic Ateb functions are given.
Dynamics of Two Nonlinearly Coupled Oscillators
Physica Scripta, 1998
В работе исследовалась динамика двух упруго связанных между собой маятников одинаковой массы, находящихся под действием разных постоянно действующих внешних вращательных моментов. Исследование мотивировано многочисленными физическими и биологическими приложениями рассматриваемой модели. Такие системы входят в число базовых физических моделей и представляют широкий научный интерес. На сегодняшний день существует немало работ, изучающих маятниковые ансамбли более высокого порядка. Представляется важным подробно и полно изучить динамику системы двух маятников, нелинейно связанных друг с другом, как базу для понимания поведения более сложных ансамблей фазовых осцилляторов. При изучении динамики двух нелинейно связанных маятников наибольший интерес представляет рассмотрение режима синхронизации, являющегося одним из основных режимов, наблюдаемых при взаимодействии нескольких осцилляторов в природе. Также в работе описываются и другие режимы, характеризующие динамику системы. Цель исследования состоит в изучении динамики системы в зависимости от параметров. Рассмотрены периодический и квазипериодический режимы колебаний, синхронизация и режим отсутствия колебаний. В работе получены оригинальные результаты, касающиеся аналитической оценки границы области синхронизации в плоскости {d, α}, где d-сила связи между осцилляторами, а α-параметр синхронизации. Для получения вышеуказанной оценки были проведены элементы качественного анализа систем нелинейно связанных уравнений Адлера. Аналитическая оценка была подтверждена результатами прямого численного моделирования системы. В работе использовался метод Рунге-Кутты четвёртого порядка с контролем локальной погрешности. Были построены бифуркационные диаграммы в плоскости {γ1, γ2} для различных значений параметра связи. Исследовано влияние параметров системы на существующие в ней режимы.
Vibrations in engineering and technology, 2021
The unsteady oscillations of a dissipative oscillator caused by an instantaneous impulse of the force are described. The case is considered when the dissipative force consists of quadratic viscous resistance and dry friction, and the theoretical results are generalized to the case of the sum of three forces. The third is the force of positional friction. Formulas for calculating the ranges of oscillations have been constructed In this case, the Lambert function of negative and positive arguments is used. It is a tabulated special function. Its value can also be calculated using its known approximations in elementary functions. It is shown that, due to the action of the dissipative force, the process of post-pulse oscillations consists of a finite number of cycles and is limited in time. This is due to the presence of dry friction among the resistance components. Examples of calculations that illustrate the possibilities of the stated theory are given. In order to check the reliabili...
Bulletin of the National Technical University «KhPI» Series: Dynamics and Strength of Machines
The motion of an oscillator instantaneously loaded with a constant force under conditions of nonlinear external resistance, the components of which are quadratic viscous resistance, dry and positional friction, are considered. Using the first integral of the equation of motion and the Lambert function, compact formulas for calculating the ranges of oscillations are derived. In order to simplify the search for the values of the Lambert function, asymptotic formulas are given that, with an error of less than one percent, express this special function in terms of elementary functions. It is shown that as a result of the action of the resistance force, including dry friction, the oscillation process has a finite number of cycles and is limited in time, since the oscillator enters the stagnation region, which is located in the vicinity of the static deviation of the oscillator caused by the applied external force. The system dynamic factor is less than two. Examples of calculations that ...
Mathematical and computer modelling. Series: Physical and mathematical sciences, 2020
This article is devoted to the study of an infinite-dimensional Hamiltonian system, which describes an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on a two-dimensional lattice. This system is a counteble system of ordinary differential equations. It is convenient to consider this system as a differential-operator equation in Hilbert space of real two-way sequences. The problem of existence of periodic solutions for such systems with power potential is considered. The main conditions for the existence of these solutions are the spatial periodicity of the coefficients of the linear interaction of oscillators and the positivity of this operator. This article shows that periodic solutions can be constructed using the constained minimization method. For this, a functional is constructed whose critical points are the desired periodic solutions. This functional is represented as the difference between the quadratic and non-quadratic parts. Next, we consider the problem of con...
Propeller Shafting Dynamics Under Impulse Action
Vestnik Gosudarstvennogo universiteta morskogo i rechnogo flota imeni admirala S. O. Makarova
Propeller shafts and countershafts are bent quite often on sea and river vessels. The cause of the curvature is a strong load on this node of the ship’s power plant. In addition to bending, the shafting experiences longitudinal and transverse loads with a dynamic and static component. A large number of scientific papers have been devoted to the study of the dynamics of the propeller and shafting. However, the problem has not been completely solved, and the increase in damages during the shafting operation and its intensive wear only confirm the relevance of further research in this direction. The aim of the work is to determine the dynamic forces in the shafting, which occur during impulse action due to the propeller impact on the ice. A model of a two-stage elastic rod with inert disks at the ends is presented in the paper. It allows considering different situations of dynamic impact on the shafting and propeller. The following design features such as different stiffness of the sha...
Existence of periodic travelling waves in systems of nonlinear oscillators on 2Dlattice
2011
It is considered the system of differential equations that describes the dynamics of an infinite system of linearly coupled nonlinear oscillators on 2D-lattice. Results on existence of the periodic travelling waves are obtained. C. Н. Бак. Условия существования периодических бегущих волн в системе нелинейных осцилляторов на двумерной решетке // Мат. Студiї.-2011.-Т.35, №1.-C.60-65. Рассматривается система дифференциальных уравнений, описывающая динамику бесконечной системы линейно связанных нелинейных осцилляторов на двумерной решетке. Получен результат о существовании периодических бегущих волн.
Proceedings of the Institute of Applied Mathematics and Mechanics NAS of Ukraine, 2018
We have simplified the previously received frequency equation of the natural axially symmetric oscillations of a heavy perfect incompressible liquid in a rigid cylindrical reservoir with elastic bases in the form of thin circular plates. The singularity in the frequency equation in the case of the coincidence of mass characteristics of the plates was removed. We have considered arbitrary methods of fixing the contours of the plates and different limiting cases: the degeneration of plates into membranes, absolutely rigid plates, the absence of upper plate (free surface on the liquid), and the case of zero gravity. It has been shown that the frequency spectrum of the coupled axially symmetric oscillations of elastic bases and the ideal liquid consists of two sets of frequencies, corresponding to oscillations of the upper and lower elastic bases, and additional oscillation frequency of a liquid column as a whole.