Le Cercle à l'Infini des Surfaces à Courbure Négative (original) (raw)

Groupes automatiques et courbure négative (d'après D.B.A. Epstein)

Séminaire de théorie spectrale et géométrie, 1990

Comportement asymptotique des fonctions harmoniques en courbure négative

Commentarii Mathematici Helvetici, 1995

Rksumk. Soit M une vari6t6 riemannienne compl6te, simplement connexe et de courbure n6gative pinc6e. On montre que, pour une fonction harmonique sur M, les notions non-tangentielles de convergence, de bornitude et de finitude de l'6nergie sont 6quivalentes en presque tout point du bord g~om6trique. Ce r6sultat est un analogue <> d'un th6or6me de A. P. Calderbn et E. M. Stein dans le demi-espace euclidien. La d6monstration, inspir6e de la m&hode de J. Brossard dans le cas euclidien, utilise le mouvement brownien.

Surfaces à courbure moyenne constante et inégalité de Wente

Séminaire de théorie spectrale et géométrie, 1997

L'accès aux archives de la revue « Séminaire de Théorie spectrale et géométrie » implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ [W2 ] H. WENTE.-Counterexample to a conjecture ofH. Hopf, Pacific J. Math. 121 (1986),

Courbures scalaires des variétés d’invariant conforme négatif

Transactions of the American Mathematical Society, 1995

In this paper, we are interested in the problem of prescribing the scalar curvature on a compact riemannian manifold of negative conformal invariant. We give a necessary and sufficient condition when the prescribed function f f is nonpositive. When sup ( f ) > 0 \sup (f) > 0 , we merely find a sufficient condition. This is the subject of the first theorem. In the second one, we prove the multiplicity of the solutions of subcritical (for the Sobolev imbeddings) elliptic equations. In another article [8], we will prove the multiplicity of the solutions of the prescribing curvature problem, i.e. for a critical elliptic equation.

Courbure scalaire et trous noirs

Séminaire de théorie spectrale et géométrie, 2000

L'accès aux archives de la revue « Séminaire de Théorie spectrale et géométrie » implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire de théorie spectrale et géométrie GRENOBLE Volume 18 (2000) 69-76 COURBURE SCALAIRE ET TROUS NOIRS Jacques LAFONTAINE & Luc ROZOY I. Introduction L'application Seal : g *-* s g , dont la source est l'espace des métriques riemanniennes sur une variété M, et le but C°°(M)> qui à une métrique associe sa courbure scalaire, est génériquement une submersion^1) Plus précisément, Seal n'est pas une submersion en g si et seulement si l'équation Ddf + (A/)g-/Ric = 0 (*) admet une solution ƒ non triviale. (A =-jp +-• • sur R n plat). Malgré les contraintes fortes que cette équation impose sur la métrique (voir plus bas), ses propriétés ne sont pas complètement élucidées. Dans cette note, nous donnons une classification complète des variétés riemanniennes compactes (M, g) de dimension 3, telles que cette équation ait une solution non triviale qui soit de Bott-Morse. Nous espérons que les techniques développées à cette occasion nous permettrons de nous débarrasser de cette hypothèse artificielle.

Ondes à courtes crêtes internes à l'interface de deux couches de fluides d'épaisseurs infinies

L’étude des champs tridimensionnels est essentielle pour une description réaliste des ondes internes. La forme la plus simple de ces vagues est celle des ondes à courtes crêtes. La méthode que nous proposons pour leur calcul est basée sur celle du lagrangien moyen de Whitham. Cette technique nous a permis de calculer leurs profils et d’effectuer une étude de leurs caractéristiques fondamentales.

Surfaces minimales dans 𝐑 3

Séminaire de théorie spectrale et géométrie, 1989

Séminaire de Théorie spectrale et géométrie (Chambéry-Grenoble), 1988-1989, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Séminaire de Théorie spectrale et géométrie » implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire de théorie spectrale et géométrie CHAMBÉRY-GRENOBLE 1988-1989 (53-91) SURFACES MINIMALES DANS par Celso COSTA 1. Introduction Lagrange en 1760, trouve l'équation différentielle d'une surface minimale. Soient D c R 2 un domaine simplement connexe avec coordonnées (ui, m) € D , ƒ : D-* R une fonction de classe C 2 et X : D-» R 3 la surface donnée par le graphe de ƒ A'(«i,« 2) = (Ul,1f2, Alors l'aire A de X est donnée par A = / v /det(<7, i)du,£fu2 = / Jl + fl,+ JD JD V Soit 77:1?-• R une fonction de classe C 2 telle que rj/dD = 0. Alors F : (-e, e) x 15-• R 3 , F(/, ui, « 2) = ƒ(n\, ti 2) + <T?(UI , u 2) définit une variation à un paramètre de ƒ , avec dD fixe. On écrit ƒ ' : D-R 3 , ƒ *(t/,, u 2) = F(t, u,, U2) , alors l'aire A(t) de la surface X t définie par le graphe de ƒ' est donnée par A(t)= f [i+iflf^ifU JD Nous avons, Alors, en utilisant la notation classique P = / ttl , ? = /« 2 et u; = 54 C. COSTA on trouve que d DÉFINITION 1.-Si A'(0) = 0, pour toutes les variations 77, avec rj/dD = 0, on dit que X est une surface minimale. On observe que Alors A\0)= f [A(£,) + jL(!,)] rfui c*u 2-f \» (P)+ 0 (1)-i J D iou\ w ' oui iu 'J J D idu\ x w / oui v u» 7 J Le premier terme du deuxième membre de l'égalité ci-dessus est nul. Pour montrer cela, on utilise la 1-forme différentielle C (ï)i (Nous avons Alors, le théorème de Stokes et ij/dD = 0 entraînent que L 'D Donc, si X est une surface minimale, nous avons A'(0) =-ƒ [-/-(£) + ^-(-)h^i^2 = o. JD Cela entraîne que 01) »()+ (OU lu 7 ÖU2 «> On peut obtenir cette dernière conclusion par des arguments canoniques. Si en un point p G D nous avons ^-(^) + ^fjC^) > 0 , par exemple, alors il existe un petit disque Dip) centré sur p tel que la même inégalité est encore vraie. Soit V(p) un autre disque tel que D(p) C V(p) c D. Alors on peut trouver une C 2-fonction rç : D-> R avec 0 < 77 ^ 1 , r]/D(p) = 1 et t]/D(p)-V(p) = 0. Avec cette fonction rj nous obtenons A'(0) > 0. Donc (1.1) est vraie. L'équation (1.1) développée nous donne l'équation de Lagrange pour les surfaces minimales : (1.2) (1 + ft x)fu 2 u 2 + d + /2 2)/u,«,-2f Ul f u J UlU2 = 0. Surfaces minimales dans R 3 55 2. Surfaces minimales et courbure moyenne Mcusnier en 1776 montre que l'équation (12) est équivalente à ce que la courbure moyenne H de la surface X soit nulle. Soit X : D-• R 3 , une fonction de classe C 2 , X = (X\ % Xi,Xi) telle que (2.1) X mt AX %t ÏO. Alors, À" définit une surface locale, S = X(D), immergée dans R 3. L'espace tangent à 5 , Tx(p)S , au point X(p), p G D , est engendré par À' UI et-Y tt2 ; T xip) S = {aX Ul + bX Uî G R 3 ; a,b G R}. Une courbe a de classe C k , k ^ 1 dans R 3 , c'est simplement une fonction <* : [-e,£]-> R 3 de classe C*. Soit a : [-£,e]-> R 3 , de classe C 2 , telle que a(*) G 5 , Vt et Q(0) = X(p) = q e S. Alors, de (2.1), si e > 0 est suffisamment petit il existe une courbe 0 : [-e,e]-> D f 0(f) = (IM(<),«2(0) telle que X(t) = X(/5(<)) = o(t). Le vecteur tangent à la courbe a(t) au point a(<o) est donné par (2.2) ^Uto La longueur L de a est donnée par l'intégrale On peut définir une fonction s : [-e,e]-• [0, L] , par Nous avons s'(<) = |^f| > 0. Si la courbe a est régulière (a'(<) ^ 0 , V<) alors s'(t) > 0 , la fonction s est strictement croissante et on peut définir l'inverse t(s) , t : [0, L]-+ [-£,e]. Nous avons le diagramme [0,1] ^[-£ , £ ] qui définit une autre courbe X(s) : [0, L]-• R 3 sur 5. Nous avons dX dXdt ,dX x t Dans cette condition, on dit que la courbe X(s) est paramétrisée "par longueur d'arc". On a aussi et (2.3) D'autre part, soit la fonction N : S-* S 2 donnée en coordonnées locales (ui,u 2)€Z?par, 56 C. COSTA N définit un champ de vecteurs normaux sur la surface S. On appelle N la fonction normale de Gauss. On observe que (N, X u) = (N, X v) = 0. Alors, de (2.3), on trouve qu'au long de la courbe X(s), on a où Si on fait le calcul pour la valeur t = 0, correspondant au point a(0) = X(p) G 5 et en rappelant que, que ^ = ^($r\ alors Le numérateur de l'expression (2.4) est une forme quadratique sur l'espace tangent Tx(P)S. La matrice de cette forme dans la base {X Ul , X U1 } est donnée par les scalaires bij. On appelle cette forme la deuxième forme fondamentale TTV(P) pour la surface S au point X(p) = q e S TTÇ : TgS-> R , Kq(v) = ^ bijViVj , v = i>i-Y Ul + vzX ul. On observe que la 2 x 2 matrice (6 tJ = (bij(q)) dépend seulement de X u. et X UiUJ au point g = X(p). Donc TT 9 dépend de la façon dont 5 est immergée dans R 3 dans un voisinage de q = X(p). Le dénominateur de l'expression (2.4) est une forme quadratique aussi sur T q S , on appelle cette forme, la première forme fondamentale I q de la surface 5 au point X(p) = q , I g :T g S-+R , J 9 (r) = {D onc / ç mesure la longueur des vecteurs tangents à 5 au point X(p). { ,) est le produit scalaire canonique dans l'espace R 3. A cause de l'homogénéité par rapport à u'j(0) du deuxième membre (tout entier) de (2.4), on voit que ce membre dépend seulement de la direction déterminée par le vecteur v-' u[(0)X Ul + U2(0)À' U2. Alors si T 6 Tx(P)S est un vecteur unitaire, on définit la courbure normale k(T) de 5 au point X(p) dans la direction T , par (2 5) HT) = t-N) = Si T varie en Tx(p)S , avec \T\ = 1 , on obtient les valeurs k\ = max k(T) , hi = min HT) , T T Surfaces minimales dans R 3 57 qu'on appelle les courbures principales de la surface 5 au point X(p). Comme ces courbures sont, respectivement, le maximum et le minimum du quotient de deux formes quadratiques, alors les vecteurs directions v\,v2 G Tx{p)S , \v\\ = (t^l = 1 tels que kj = k(vj) , j = 1,2 , sont orthogonales. On définit alors la courbure moyenne if e la courbure Gaussienne K au point X(p) par, respectivement, (2.6) H = ^Y 1 et /^ = *i • *a-Maintenant, on retourne à l'équation (2.4) pour obtenir l'expression pour H et K. Les valeurs maximum et minimum k\ et k% sont les racines \i de l'équation det(6 tJ-figij) = 0. Nous avons, alors que (2.7) dtl(g ijf x 2-(<722&ii + 9n622-2012&12)// + det(6 0) = 0. Pour la somme et le produit des racines nous avons u £11622 + 322611-2<7i2&i2 T f det(6 tJ) Jtl = r~;-iV = Soit une surface À' : I?-» R 3 donnée par le graphe d'une C 2-fonction ƒ : D-* R. Donc, X(u\, U2) = («1, «2, ƒ (MI , «2)) • Nous avons X U1 = (1,0, ƒ",) , A' nî = (0,1, ƒ",), X UIU1 = (0,0,/" lttI) == ("iU, Ju\U%) i-*U2«2 ^ ("î^W Alors, comme 0 tJ = (X«,,X U>) , iy = (^,X«,. tt>) , i,j = 1,2 , nous trouvons que 011 = 1 +(/ui) 2 , <M2 = 021 = fui fut , 022 = 1 +(/uj) 2 &11 = ~/tii«i , &12 ~bz\ =-/«I«Î , &22 =-Ajtt 2 • Ainsi, nous trouvons (2.9) 011622+022611-2012612 = ^{[l+(/« 1) 2 ]/« 2 « t +[l+(/« 2) 2 ]/«i«,-2/«,/« 2 /« 1 « î }. Cette dernière expression avec les résultats (2.8) et (1.2) montrent que la surface 5 donnée par le graphe est minimale (un point stationnaire pour la fonction aire) si et seulement si sa courbure moyenne H est nulle partout. Maintenant, si X : D-» R 3 , X = {X\, A'2, X3) est une surface dans R 3 , à cause de la propriété X UI A X U2 # 0 , pour chaque point p € D on peut trouver un voisinage V(p) c D tel que X/V(p) soit injective et le morceau de surface S\ = X(V(p)) a une projection injective sur le plan tangent T X { P)S. Alors S\ est donnée par le graphe d'une 58 G COSTA fonction définie dans un voisinage du plan Tx{ P)S. Après une isométrie de déterminant positive de l'espace R 3 , on peut supposer que Tx(g) est parallèle au plan X$ = 0. C'est facile de voir qu'une isométrie de déterminant positive ne change pas la première forme fondamentale (longueur des vecteurs) ni la deuxième forme fondamentale (la façon comme la surface est immergée dans R 3). Donc on peut élargir la définition de surfaces minimales : (voir définition 1). DÉFINITION 2.-Soit X : D-> R 3 une fonction de classe C 2 tel que X UI A X ut ^ 0. Alors la surface immergée S = X(D) est une surface minimale si et seulement si H = 0. 3. Exemples de surfaces minimales On regarde les problèmes suivants : (A) Trouver une surface minimale donnée par le graphe d'une fonction de classe C 2 , ƒ, de telle façon que les courbes de niveau de ƒ sont des droites. (B) Quelles sont les surfaces minimales de révolution? (C) Trouver une solution de l'équation (12) par la méthode de séparations de variables. Solution du problème (A) (Meusnier 1776), Soit X : D-* R 3 , X(u\,u2) = (ui,U2,/(tM,U2)) une surface minimale ayant la propriété additionnelle que toutes les courbes de niveau sont des droites. De l'équation des surfaces minimales (1.2) nous avons que (3.1) A/ = /umi + /u 2 «2 =-(/tfl) /u 2 «2 "(fui) /uittl + 2/ui/u2./tUU2 où A est l'opérateur laplacien dans R 2. Soit une courbe de niveau a(s) de la surface. Comme a est une droite parallèle au plan de coordonnées (it\, ui), il existe O<0<?retpo€<D tels que cc{s) = po + $(cos 0, sin 8) , ƒ(a(s) = cte. Alors, le calcul de la dérivée première et de la dérivée deuxième de /(cv(s)) = cte par rapport à s, donne les équations, cos 6 ƒ", + sin 0 f Vl = 0 et cos 2 9f Ul ui + 2 cos d • sin 0f uit , 2 + sin 2 6f U2U2 = 0. Si on élimine 9 dans ces équations (en rappelant que 0 < 9 < TT) et en utilisant (3.1) on trouve que A ƒ = 0-Surfaces minimales dans R 3 59 Finalement, la seule solution du problème A ƒ = 0, avec la condition que les courbes de niveau soient des droites, est que /(ui,u 2) = 4arctg Ul " %B , O,6,>1,JBGR. Le graphe de cette fonction est un plan (-4 = 0) ou la portion d'un hélicoïde d'équation uia = vi cos t'2 U2-6...