Полуполевые плоскости ранга 2, допускающие группу S3S_3S3​ (original) (raw)

2019, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN

Одна из классических задач проективной геометрии построение объекта по известным ограничениям на его автоморфизмы. Рассматриваются конечные проективные плоскости, координатизируемые полуполем, т. е. алгебраической системой, удовлетворяющей аксиомам тела, за исключением ассоциативности умножения. Такая плоскость является плоскостью трансляций и обладает также транзитивной группой элаций с аффинной осью. Пусть π полуполевая плоскость порядка p 2n с ядром, содержащим GF (p n) (p простое число), группа линейных автотопизмов которой содержит подгруппу H, изоморфную симметрической группе S 3. Для построения и исследования таких плоскостей применяется подход с использованием линейного пространства и регулярного множества специального семейства линейных преобразований. Построено матричное представление подгруппы H и регулярного множества полуполевой плоскости для p = 2 и p > 2. Изучена возможность присутствия центральных коллинеаций в подгруппе H. Показано, что полуполевая плоскость порядка 3 2n с ядром GF (3 n) не допускает S 3 в группе линейных автотопизмов. Найдены примеры полуполевых плоскостей порядков 16 и 625, допускающих S 3. Полученные результаты могут быть обобщены на случай полуполевых плоскостей ранга более двух и могут быть использованы, в частности, при исследовании известной гипотезы о разрешимости полной группы коллинеаций конечной недезарговой полуполевой плоскости. Ключевые слова: полуполевая плоскость, группа автотопизмов, симметрическая группа, бэровская инволюция, гомология, регулярное множество. O. V. Kravtsova, T. V. Moiseenkova. Semifield planes of rank 2 admitting the group S 3. One of the classical problems in projective geometry is to construct an object from known constraints on its automorphisms. We consider finite projective planes coordinatized by a semifield, i.e., by an algebraic system satisfying all axioms of a skew-field except for the associativity of multiplication. Such a plane is a translation plane admitting a transitive elation group with an affine axis. Let π be a semifield plane of order p 2n with a kernel containing GF (p n) for prime p, and let the linear autotopism group of π contain a subgroup H isomorphic to the symmetric group S 3. For the construction and analysis of such planes, we use a linear space and a spread set, which is a special family of linear mappings. We find a matrix representation for the subgroup H and for the spread set of a semifield plane if p = 2 and if p > 2. We also study the existence of central collineations in H. It is proved that a semifield plane of order 3 2n with kernel GF (3 n) admits no subgroups isomorphic to S 3 in the linear autotopism group. Examples of semifield planes of order 16 and 625 admitting S 3 are found. The obtained results can be generalized for semifield planes of rank greater than 2 and can be applied, in particular, for studying the known hypothesis that the full collineation group of any finite non-Desarguesian semifield plane is solvable.