Covering morphisms and normal extensions in Galois structures associated with torsion theories (original) (raw)

Dedicated to Francis Borceux on the occasion of his 60 th birthday ABSTRACT. Nous étudions les revêtements et les extensions normales relatives aux structures galoisiennes munies de ce que nous appelons foncteurs test. Ces foncteurs apparaissent naturellement dans les structures galoisiennes associées aux théories de torsion dans les catégories homologiques. Sous des hypothèses additionnelles appropriées, tout morphisme à noyau sans torsion est un revêtement, et tout revêtement est une extension normale, pourvu qu'il soit un morphisme de descente effective. Nos contre-exemples, qui montrent l'importance de ces conditions supplémentaires, sont semiabéliens, et proviennent de la théorie des groupes, en faisant intervenir des produits semi-directs de groupes cycliques. Nous comparons nos nouveaux résultats avec ceux connus pour les revêtements localement semi-simples et pour les extensions centrales généralisées. ABSTRACT. We study covering morphisms and normal extensions with respect to Galois structures equipped with what we call test functors. These test functors naturally occur in Galois structures associated with torsion theories in homological categories. Under suitable additional conditions, every morphism with a torsion free kernel is a covering, and every covering is a normal extension whenever it is an effective descent morphism. Our counterexamples showing the relevance of those additional conditions are semi-abelian, and moreover, group-theoretic, involving semidirect products of cyclic groups. We also briefly compare our new results with what is known for the so-called locally semi-simple coverings and for generalized central extensions.