p-adic Representations of Commutative Rings (original) (raw)

Let A be a commutative ring with Q ⊆ A and p a prime number. We want to investigate which properties such ring must satisfy to be representable in a ring of p-adic valued continuous functions C(X, Q p), where X is a Hausdorff quasi-compact topological space, i.e., compact. By a representation, we mean a homomorphism Φ : A → C(X, Q p) such that Φ(1) = 1, which is called dominant when Φ(A) is dense in C(X, Q p) with respect to the p-adic sup-norm. This will be done after studying divisibilities of commutative rings A introduced axiomatically. In particular, we will observe the canonical pdivisibility | 0 of C(X, Q p), defined by g | 0 f :⇔ ∀x ∈ X : v p (g(x)) ≤ v p (f (x)), where v p is the p-adic valuation of Q p. After some results, we conclude that the existence of an abstract p-Archimedean divisibility | of A is sufficient to assure the existence of a dominant representation Φ : A → C(V max p (|), Q p). Here V max p Zussamenfassung Sei A ein kommutativer Ring mit Q ⊆ A und p eine Primzahl. Wir wollen untersuchen, welche Eigenschaften ein solcher Ring erfüllen muss, so dass es eine Darstellung in einen Ring von p-adischen wertigen stetigen Funktionen C(X, Q p) gibt, wobei X ein Hausdorffscher quasi-kompakter topologischer Raum ist, d.h., ein kompakter Raum. Unter einer Darstellung verstehen wir einen Homomorphismus Φ : A → C(X, Q p) mit Φ(1) = 1, welche dominant gennant wird, falls Φ(A) dicht in C(X, Q p) bezüglich der p-adischen Supremumsnorm ist. Um dies zu erreichen studieren wir axiomatisch eingeführte Teilbarkeiten von kommutativen Ringen A. Insbesondere betrachten wir die kanonische p-Teilbarkeit | 0 von C(X, Q p), welche durch g | 0 f :⇔ ∀x ∈ X : v p (g(x)) ≤ v p (f (x)), definiert ist, wobei v p die p-adische Bewertung von Q p ist. Nach einigen Ergebnissen schließen wir, dass die Existenz einer abstrakten p-Archimedischen Teilbarkeit | von A hinreichend ist, um die Existenz einer dominanten Darstellung Φ : A → C(V max p (|), Q p) zu gewährleisten. Hierbei bezeichnet V max p (|) die Menge aller maximalen p-Bewertungen von A, welche | fortsetzen. Diese wird mit einer Topologie ausgestattet, so dass sie ein kompakter topologischer Raum wird. Wenn | eine gewisse Eigenschaft erfüllt, können wir sogar den Kern von | mittels eines Lokal-Global Prinzips charakterisieren, nämlich durch 1 | v a für alle | v ∈ V max p (|) ⇒ 1 | a, wobei a ein beliebiges Element von A ist. Infolgedessen wird es möglich zu bestimmen, wann Φ ein Isomorphismus ist. Ein Teil der verwendeten Ideen und Konstruktionen, die in dieser Dissertation benutzt wurden, kann als analog zu denen interpretiert werden, die für das Studium von Darstellungen von kommutativen Ringen in Ringen von reellwertigen stetigen Funktionen C(X, R) mit kompaktem X verwendet wurden. Eigentlich waren die Theorie der Archimedischen Ringe und ihrer Darstellungen die Motivation für diese Arbeit und wir folgten der erfolgreichen Philosophie der Suche nach Ergebnisse im p-adischen Fall in Analogie zu bereits bekannten Ergebnissen im reellen Fall, wie es in [11] und [20] verwendet wurde. 1 By compact we mean quasi-compact and Hausdorff. 2 Articles [24] and [25]. * ] • p 2(p+1)(k+r) , where g * := p r g and f * := p k f , we also have (2.22) | p (2.23).