Sur les fonctions holomorphes a valeurs dans l’espace des martingales locales (original) (raw)

CHAPITRE 1 Fonctions holomorphes

1.1 Fonctions Complexes Définition 1.1.1 On appelle fonction complexe à une variable complexe, une application de C dans C. f : C −→ C z −→ f (z) Remarque 1.1.1 Posons : z = x + iy et f (z) = P(x, y) + iQ(x, y), où Re f (z) = P(x, y) et Im f (z) = Q(x, y), on est donc ramené à une application ϕ de R 2 dans R 2 , et ceci en posant ϕ(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)). Limite : Soit f une fonction complexe à une variable complexe ; on dit que f admet une limite ℓ en z 0 = x 0 + iy 0 si et seulement si : ∀ε > 0, ∃η > 0 tel que |z − z 0 | < η =⇒ | f (z) − ℓ| < ε On note lim z−→z 0 f (z) = ℓ. Posons alors ℓ = a + ib où a et b sont deux réels, alors ; | f (z)−ℓ| = |P(x, y)+iQ(x, y)−a−ib| = |(P(x, y)−a)+i(Q(x, y)−b)| |P(x, y)−a|+|Q(x, y)−b|. On a en plus : |P(x, y) − a| (P(x, y) − a) 2 + (Q(x, y) − b) 2 = | f (z) − ℓ| et |Q(x, y) − b| | f (z) − ℓ|. Ces inégalités prouvent que : lim z−→z 0 f (z) = ℓ, ⇐⇒        lim (x,y)−→(x 0 ,y 0) P(x, y) = a, lim (x,y)−→(x 0 ,y 0) Q(x, y) = b. On a aussi : • lim z−→∞ f (z) = ℓ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃A > 0 tel que |z| > A =⇒ | f (z) − ℓ| < ε. • lim z−→z 0 f (z) = ∞ ⇐⇒ ∀A > 0, ∃η > 0 lel que |z − z 0 | < η =⇒ | f (z)| > A. • lim z−→∞ f (z) = ∞ ⇐⇒ ∀A > 0, ∃B > 0 tel que |z| > B =⇒ | f (z)| > A.

9 Fonctions holomorphes

Dans ce chapitre nous allons généraliser la notion de dérivation rencontrée pour les fonctions d'une variable réelle au cas des fonctions d'une variable complexe.

Sur certaines martingales de Benoit Mandelbrot

Advances in Mathematics, 1976

En analysant de facon critique le modele aleatoire de turbulence de A. M. Yaglom, Mandelbrot a introduit son propre modele, qu'il appelle "canonique" [l-3]. On part d'un pave, qu'on divise successivement en c, c 2 ,. .. , C" ,. .. paves semblables; chaque pave de la n-i&me &tape est divise en c paves Cgaux de la (n + I)ieme Ctape. On donne une suite de variables aleatoires independantes IV, , Cquidistribuees, positives, d'esperance 1 et indexes par les paves P qu'on vient de considerer. Partant de la mesure de Lebesgue p0 sur le pave initial, on construit par &apes la suite des mesures p n. : pn a une densite constante sur chaque pave P de la nieme &tape, et la densite de pn sur P est le produit par W, de la densite de pfi-i sur P. La suite des mesures pm est une martingale vectorielle, qui converge vers une mesure aleatoire p. Dans [2, 31 sont indiques des r&hats et des problemes concernant la mesure p (conditions de non dCgCnCrescence; etude des moments de (1 TV (I; etude des boreliens portant p et de leur dimension de Hausdorff). Certaines conjectures de Mandelbrot ont CtC resolues par Peyriere [4] ou par Kahane [SJ. On se propose ici d'exposer ces r&hats sous une forme amelioree. Les ThCoremes 1, 2, 3 ci-dessous sont dus a J.-P. Kahane, le Theoreme 4 a J. Peyriltre. 11 sera commode de prendre pour pave initial I'intervalle [0, 11. Les "paves" P sont alors les intervalles c-adiques I(jl , j2 ,..., jn) = [ % jkc-k, 5 jkc-k + c-" 1 [ (n = 1, 2 ,...; j, = 0, l,..., c-1). On donne un entier c 3 2, et une variable aleatoire positive d'esperance 1. On designe par W(j, , j, ,..., j,) une suite de v.a. independantes, de mCme distribution que W, et par pB la mesure, definie sur [0, 11, 131

Fonctions �l�mentaires sur GPU exploitant la localit� de valeurs

2008

Les processeurs graphiques sont de puissants coprocesseurs SIMD dédiés au traitement du parallélisme de donnée issue d'application multimédia ou du domaine du calcul généraliste sur processeur graphique (GPGPU). Ces processeurs intègrent différentes unités spécialisées dupliquées de nombreuses fois. Parmi ces unités spécialisées, on retrouve les unités d'évaluation de fonctions de base (inverse, inverse de la racine carrée, exponentielle, fonctions trigonométriques.. .). L'objectif de cet article est de proposer une modification architecturale destinée à réduire la surface totale occupée par ces unités tout en conservant des performances comparables. Cette modification exploite la localité de valeurs dans un contexte d'exécution SIMD pour partager les tables nécessaires. Deux versions sont proposées et testées : Un partage de table limité à chaque bloc SIMD et un partage global d'une table unique avec des caches partagés au niveau des blocs SIMD. Les tests sont menés à la fois sur les benchmarks classiques qui représentent le travail de développeurs experts et sur des simulations dans le domaine du développement durable qui représentent le travail d'utilisateurs d'outils intégrés. Les traces d'exécution de ces derniers codes sont disponibles auprès des auteurs.

Calcul fonctionnel holomorphe dans les alg�bres p-Banach quotients

Bull Belg Math Soc Simon Stev, 2004

Let A be a p-Banach algebra and α a two-sided ideal of A with a complete p-norm stronger than the p-norm inherited from A. By integral methods, we give here a holomorphic functional calculus relatively to α which coïncides with the holomorphic functional calculus defined in A|α considered as a quotient quasi-Banach algebra. As application, we get a version ofŠilov's decomposition theorem. We also give the spectral mapping theorem and an integral formula for the image of the k-th derivative of a holomorphic function. 1 Introduction. Dans [10], W.Żelazko a construit dans les algèbres p-Banach un calcul fonctionnel holomorphe utilisant des méthodes d'intégrales. L.Waelbroeck a traité le calcul fonctionnel dans les algèbres de Banach quotients [7] et les a.b.m.c. complètes quotients (qu'il appelle "quasi-Banach algebras" dans [9]). Ici, nous traitons du cas des algèbres p-Banach quotients. Nous nous intéressons particulièrement au cas de fonctionsà une variable comme dans [2] et [3]. En effet, avec des méthodes simples et directes, nous construisons un calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres p-Banach quotients. Pour ce faire, nous commençons parétablir deux lemmes essentiels. Le calcul fonctionnel holomorphe ainsi défini explicite celui qu'on obtient en munissant ces algèbres quotients de leur structure d'a.b.m.c. complètes quotients (cf. [1], [9]). De plus, le morphisme qui le définit est un morphisme strict d'algèbres p-Banach quotients, c-à-d induit par une application linéaire continue. Comme application, nous donnons une généralisation du théorème des idempotents