О радикале относительно свободной ассоциативной алгебры над полями положительной характеристики (original) (raw)

УДК 512.552.4 Л. М. Самойлов О радикале относительно свободной ассоциативной алгебры над полями положительной характеристики В работе решена проблема А. Р. Кемера о нильиндексе радикала: показано, что над бесконечным полем положительной характеристики радикал Джекобсона относительно свободной ассоциативной алгебры является нильидеалом ограниченного индекса. Описан базис тождеств с формами матричных алгебр над бесконечными полями положительной характеристики. Библиография: 10 названий. § 1. Введение Все рассматриваемые алгебры будем предполагать ассоциативными, в общем случае без единицы. В работе [1] А. Р. Кемером сформулирована следующая Проблема. Является ли радикал Джекобсона относительно свободной алгебры счетного ранга над бесконечным полем характеристики p > 0 нильидеалом ограниченного индекса? В настоящей работе будет получено положительное решение этой проблемы. Основная теорема. Радикал Джекобсона относительно свободной алгебры счетного ранга над бесконечным полем характеристики p > 0 есть нильидеал ограниченного индекса. Зафиксируем бесконечное поле F характеристики p > 0 и рассмотрим свободную ассоциативную алгебру F ⟨X⟩, порожденную счетным множеством X. Пусть Γ-собственный T-идеал (т.е. Γ ̸ = (0) и Γ ̸ = F ⟨X⟩), F ⟨X⟩/Γ-относительно свободная алгебра счетного ранга. Через n обозначим наибольший порядок матричной алгебры M n , содержащейся в Var(F ⟨X⟩/Γ). Число n называется сложностью T-идеала Γ, а также сложностью соответствующего многообразия Var(F ⟨X⟩/Γ). Сложность нетривиального многообразия всегда конечна по теореме Амицура-Левицкого. Хорошо известно, что радикалом Джекобсона алгебры F ⟨X⟩/Γ является идеал T [M n ]/Γ, где через T [A] будем обозначать идеал тождеств алгебры A. В случаях Γ = (0) или Γ = F ⟨X⟩ основная теорема очевидна, поэтому исключим их из дальнейшего рассмотрения. Несложно показать, что над произвольным бесконечным полем Rad(F ⟨X⟩/Γ) является нильидеалом (теорема Амицура). Над полем нулевой характеристики также можно рассмотреть вопрос о нильиндексе радикала. Как показала Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-01-00739).