Stetige Selektionen linearer Funktionen in der nicht-differenzierbaren Morse-Theorie (original) (raw)

Inhaltsverzeichnis Die Anwendungsgebiete der Morse-Theorie sind zahlreich. Überall dort, wo es um das Auffinden kritischer Punkte geht, kann sie wichtige Informationen über die Struktur des Problems liefern. So konnten beispielsweise mit Hilfe der Morse-Theorie neue Lösungsansätze in der Parametrischen Optimierung entwickelt werden (siehe Guddat u. a. 1990). Eng damit verknüpft ist das Auffinden globaler Lösungen von Optimierungsproblemen. Ein vielversprechender Ansatz, der versucht, alle kritischen Punkte eines Optimierungsproblems nacheinander zu durchlaufen, basiert ebenfalls auf Methoden der Morse-Theorie (siehe Jongen u. Ruiz Jhones 2000). Auch in der Wirtschaftstheorie sind Anwendungen denkbar, so z. B. in der Gleichgewichtstheorie, wo viele Probleme als Suche nach kritischen Punkten geeigneter Funktionen darstellbar sind. In Smale (1973) wurde beispielsweise das Prinzip des Pareto-Optimums unter Zuhilfenahme der Morse-Theorie verallgemeinert. Da viele Optimierungsprobleme bei genauerer Betrachtung einen nichtdifferenzierbaren Charakter aufweisen, ist es entsprechend wichtig, die Morse-Theorie auch für nicht-differenzierbare Funktionen weiterzuentwickeln. Das erste Kapitel dieser Arbeit beginnt mit einigen grundlegenden Begriffen und Definitionen, um danach die wichtigsten Resultate der Morse-Theorie für differenzierbare Funktionen kurz vorzustellen. In Abschnitt 1.4 folgt die Einführung einiger wichtiger Konzepte der nicht-differenzierbaren Optimierung, um schließlich das oben erwähnte Resultat aus Jongen u. Pallaschke (1988) näher zu betrachten. Dabei wird unter anderem ersichtlich, welche wichtige Rolle die stetigen Selektionen linearer Funktionen im nicht-differenzierbaren Fall spielen. Diese sind der Untersuchungsgegenstand des zweiten Kapitels. Zunächst werden die bereits erwähnten Ergebnisse aus Bartels, Kuntz, u. Scholtes (1995) ausführlich behandelt. Die daraus gewonnenen Erkenntnisse werden dann sukzessive und detailliert vertieft und münden in Abschnitt 2.8 im Beweis der oben beschriebenen Klassifikation für stetige Selektionen fünf linearer Funktionen. Um die kombinatorische Struktur des Problems auszunutzen, wird dabei auf Methoden der Algebraischen Topologie zurückgegriffen. Abschließend wird eine allgemeine Vermutung für die Klassifikation im Falle von mehr als fünf Selektionsfunktionen aufgestellt. Am Ende der Arbeit befindet sich ein Anhang, der in kompakter Form einige grundlegende, für das Verständnis der übrigen Kapitel notwendigen mathematischen Begriffe und Sätze enthält. Eine vollständige Einführung in die entsprechenden Gebiete kann dort jedoch aus Platzgründen nicht gegeben werden. Anstatt dessen findet der Leser zahlreiche Literaturhinweise. Um die Lesbarkeit der Arbeit zu erhöhen wurden allerdings nicht alle Definitionen und Begriffe in den Anhang verschoben.

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