Optimierung verschiedener Steuerungsprobleme mit einem funktionalanalytischen Maximumprinzip (original) (raw)
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Einige notwendige Optimalitätsbedingungen für einfache reguläre Aufgaben der optimalen Steuerung
Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen, 1986
Es werden drei notwendige Opt.inilititsbedingungen fur einfache regulare Aufgaben der optirnalen Steuerung mit Steuer-und Zustandsbeschränkungen hewiesen und dann zur Losung ciner Aufgabénklasse angeVandt. JioHa3uBaIoTcn TH lIeo6xoJi1s1Me ycJloBItn onTiIMa.muoc'rit JAAR EIp0CTbIX, 3aja'i onTilMaJlbuoro ynpaB.'leHuH C orpaHit'IeHhIHMH yripae.eiiItn It CocToilILlul. 3aTeM 0T11 ycJloBufl npnMeIIflloTcn j jui pelueHun iieioToporo iiiacca 3aa. Three necessary conditions for optimal solutions of special regular optimal control problems with state and control constraints 'are proved. These conditions are then applied to a class of problems. Einleitung Wir betraèhten die' Aufgabe der optitnalen Steuerung (x, u) := f/(t, x(t), u(t)) di .,. inf!' •1•' ' (1) (t) = u(t), 'I v (i)I fl, x(t) ^S oc für t ç [to, t i ], x(10) = x(1 1) = 0, wobei a, j9> 0 und die Funktion /: fix fix fi R stetig differenzierbar 1st. Ferner ist /(t, , •) zweiinal stet.ig differenzierbar mit V) > 0 fur nile (I, , v) € [to, hi X [-ct, tz] x [-a, fi], (2) so daB (1)-(2) eine regulare Au/gabe der o'phimalen Seuerung mi Sinne eines \Tariationsproblenis mit Steuer-undZust. andsbeschrankungen ist. Tm weiteren wird die Funktion h(t, , v, w) := /E(, ,)-/(t, , v)-v) v-/(h, , v) w (3) gebraucht. In ihr wird später anstelle von w die Ableitung it der,Steuerung u gesetzt. Das ist nur rnoglich, nachdeni das Folgende gezeigt wurde. Lemma: Es 8ei (x, u) elm ophimaler Prozefi der Au/gabe (1)-(2). Damn 1st v stetig und jast iiberall di//erenzlerbar. Wir wollen hier den Beweis nicht vorfiihren, vgl. dazu [3, 5]. Ein kiassisehes Vor.. bud hierfiir finden wir nach WEIERSTRASS bei 0. BOLZA [1: Seite 3971.
Optimale Steuerung der linearen DAE im Fall Index 2
2005
Es wird eine notwendige Optimalitats-Bedingung fur das linearquadratische Optimierungsproblemmit differentiell-algebraischen Gleichungen im Fall Index 2 bewiesen. Im ersten Schritt wird die kausale DAE betrachtet. Im zweiten Schritt wird ein neuer Losungs-Begriff fur nicht-kausale DAEs eingefuhrt und ein spezielles Kostenfunktional betrachtet, welches fur stetige Steuer-Funktionen nur den stetigen Teil der Zustands-Variablen bewertet. Es stellt sich heraus, dass die adjungierte Gleichung dann kausal ist und somit eine stetige Losung besitzt. Es wird die erweiterte Hessenberg-Form fur DAEs eingefuhrt, die es unter anderem ermoglicht, Beziehungen der DAE zu ihrer adjungierten Gleichung im Optimierungs-Problem einfacher zu untersuchen.
Ein allgemeines Maximalisierungverfahren
ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 1959
Es wird ein numerisches Verfahren beschrieben, um das Naximum einer Funktion zu finden, wenn als Nebenbedingungen sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen vorliegen. Das Wesen des Verfahrens liegt darin, einen Punkt unter Beriicksichtigung der Nebenbedingungen in Richtung des Cradienten der Funktion, deren Maximum gesucht wird, zu verschieben. Das Verfahren wurde bereits fiir den Rechenautomaten I B M 650 programmiert und hat sich bisher gut bewahrt. A numerical method i s described for finding the maximum of a given function under a set of supplementary conditions containing both equations and inequalities. The essence of the method consists in displacing a point in the direction of the gradient of the given function in such a way that the supplementary conditions are satisfied. The method has already been used for programming on. the autom,atic computer I B M 650 and has been found to work very satisfactorily. On dkcrit un prockdt! numkrique afin de trouver le maximum d'une fonction s i des kquations aussi bien que des inkgalitds sont prksentes en tant que conditions secondaires. La nature de ce procddd est de ddplacer un pointen considdrant les conditions secondaireadans la direction du gradient de la fonction dont le maximum est recherchk. Ce proddt! a dkjd dtt! prdpard pour le calculateur automatique I B M 650 et a bien rkpondu b l'attente juspu'ici. OnHcbisaeTcn smJreHHMfi MeTon nnn onpeneneHm MaKcmyMa #YHKU~IK B caygae, KorAa B Haseeme fionoJrbxHmenbHhlx yc~rosai m e m c n KaH ypaBHemR TaK EZ Hepasemma. CyuHocTb npHeMa COCTOHT B nepenswmemw T O~K E Z B HanpasaeHm rpanaewa TO^ @ynIiqm, MaxcmyM ~o~o p o i ~p e b y e~c n Haim, npHseM ~p e 6 y e~c~ c o 6 n m n e~~e nonommenbHbrx ycnon&i. TOT MeTon 6brn s a n p o r p a~~~p o s a~ ~J I R 6wcTponeiicmyIoqei4 anewpomoi3 sbiwcnmenbHo8 MaLUHHbI TkIIIa Z/IEM 650 M HaJI yROBJIeTBOpHTeJIbHbIe pe3yJlbTaTbI.
Die Schrittweite beim Gradientenprojektionsverfahren für Probleme der optimalen Steuerung
ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 1971
Fur eine K h s e linearer Steuerungsprobleme rnit quudratischem Funktionul wird die Schrittweite f u r daa Gradientenprojektiow-Naherungsverfahren angegeben. Der Konvergenzbeweis f u r daa Verfahren rnit der hier berechneten Schrittweite beruht a u j einem Satz von Goldstein iiber Qradientenmethoden im H i l b e r t r a u m. Der letzte Abschnitt gibt einen Hinweis auf die Schwierigkeiten, die bei nichtlinearen Steuerungaaufgaben auftreten, und ein Gegenbeispiel zur Frkchet-Differenzierbarkeit dee zu minimierenden Funktionals. For a class of linear control problems with quadratic functional the step width for the gradient projection approximation method is obtained. The convergence of the method is proved with the help of Goldstein's theorem concerning gradient methods in Hilbert apace. The last section of the paper points out the d~f k u l t i e a encountered in nonlinear control problems and gives a counterexample to FrBchet dqferentiability of the functional to be minimized.
1. EINLEITUNG Die Anwendung von Modellen und Simulationen in allen Wissenschaftsbereichen hat durch die Verfügbarkeit von immer größeren Rechenleistungen sowie Simulationssprachen/Werkzeugen in den letzten Jahren stark zugenommen. Immer umfangreichere, detailliertere Modelle können gebaut werden, immer mehr Inputparameter werden berücksichtigt und auch immer mehr Outputparameter werden produziert. Diese Neugeneration von Information führt aber teilweise zur zunehmenden Desorientierung der Entscheidungsträger. Das zielgerichtete Entscheiden, welche Maßnahmen-Kombinationen zu den gewünschten Zielen führen, wird dadurch eher erschwert, wenn nicht gar unmöglich gemacht. Betrachtet man das Modellierungsproblem auf einem sehr abstrakten Level, so kann man es folgendermaßen darstellen:
Modale Systemoptimierung, 2024
Eine Einladung an alle Selbst- und Tiefendenker, eine ganz neue Klasse von Begriffen (sogen. Modalbestimmungen) als Teil der aprioralen Forschung zu erkunden. Als Kristallisationskeime universalen Wissens helfen sie, Probleme zu lösen und bestehende Lösungen zu optimieren. Diese Abhandlung bildet den ersten (weil aktuellsten) Teil des Sammelbandes "Denke selbst - und beginne von vorn!".