Calcul différentiel (Extrait : chap. 1 à 6, 8 à 10, Réponses aux exercices) (original) (raw)

2010

Ce manuel de calcul différentiel a été rédigé à la lumière de l'approche didactique que nous avons développée dans "Intervenir dans les langages en mathématiques et en sciences" (Modulo, 2003 -- pour un aperçu de cette approche, voir l'article "Les erreurs langagières en mathématiques" ou voir l'introduction de l'ouvrage, disponible plus haut dans cette section). Ce manuel vise ainsi à développer quatre habiletés : calculer, formuler (mettre en équations ou en mots), représenter graphiquement et démontrer. Il s'inscrit également dans le prolongement des trois compétences disciplinaires explorées au secondaire : communiquer à l'aide du langage mathématique, déployer un raisonnement mathématique et résoudre une situation problème. Dans cette optique, le premier chapitre veille à ce que l'étudiant maîtrise l'algèbre et le raisonnement mathématique, en misant notamment sur l'exercice de la démonstration. L'étude du calcul différentiel est abordée par la suite au fil des notions de fonction, de variation, de taux de variation moyen et instantané, de pente de tangente et des applications. Ce manuel a été écrit avec le souci constant de faire comprendre les notions ; celles-ci sont présentées non seulement en langage symbolique (formules), mais exprimées littéralement et illustrées graphiquement.

Le calcul différentiel de Leibniz appliqué à la chaînette

2009

Certaines courbes etudiees par Leibniz etaient deja connues avant le calcul differentiel, et beaucoup de leurs proprietes avaient deja ete etablies par des moyens purement geometriques ou par des methodes pre-differentielles. C’est le cas de la cycloide, par exemple ; le calcul differentiel pouvait alors s'enorgueillir d'avoir considerablement simplifie des preuves de proprietes deja etablies. La chainette au contraire est une courbe decouverte grâce au nouveau calcul, qui peut donc se vanter de faire reellement progresser l'art d'inventer, auquel Leibniz tenait tant. Celui-ci utilise aussi le lien entre la chainette et les logarithmes, lien qui permet de "construire" ceux-ci avec un simple fil suspendu.

Équations différentielles

Ce chapitre ne contient pratiquement rien de théorique ; seulement des méthodes de calcul classiques, pour les équations différentielles les plus simples. Quelle que soit votre orientation scientifique, vous rencontrerez un jour des équations différentielles ; voilà donc une raison d'assimiler la culture de base que vous donne ce chapitre. Auparavant, il serait bon de réviser les techniques de calcul des primitives.