Bifurcations & Chaos Research Papers (original) (raw)

Inhaltsverzeichnis 1. Kap 1.1 Laser...........................................................................................................................2 2. Kap 1.2 Modenamplituden... more

Inhaltsverzeichnis

1. Kap 1.1 Laser...........................................................................................................................2
2. Kap 1.2 Modenamplituden ...............................................................................................2
3. Kap 3 Wahrscheinlichkeit ...............................................................................................2
4. Kap 3.5 Die Abhängigkeit der Entropie von der Zeit .......................................................2
5. Kap 3.6 Die Liouville Gleichung ........................................................................................... 3 6. Kap 4.1 Wahrscheinlichkeitsdichte und Normalverteilung .......................................4
7. Kap 4.6 Das Prinzip der detaillierten Bilanz ...............................................................4
8. Kap 4.10 Irreversibler Prozess .......................................................................................4
9. Kap 4.11 Irreversible Thermodynamik .......................................................................4

10. Kap 5.1 Der anharmonische Oszillator .......................................................................4
11. Kap 5.4 Die Bifurkation ...............................................................................................5
12. Kap 5.5 Die Katastrophenmenge ...............................................................................6
13. Kap 6.1 Das Dissipations-Fluktuations-Theorem ......................................................... 6
14. Kap 6.7 Der Phasenübergang zweiter Ordnung .......................................................6
15. Kap 7.1 Die adiabatische Näherung ...............................................................................7
16. Kap 7.2 Versklavung ........................................................................................................7
17. Kap 7.3 Fluktuationen und Potentiale .......................................................................7
18. Kap 7.7 Ungedämpfte Moden .......................................................................................8
19. Kap 8.1 Selbstorganisation .......................................................................................8
20. Kap 8.4 Kohärentes Laserlicht .......................................................................................9
21. Kap 8.7.3 Der Einmodenlaser .......................................................................................9
22. Kap 8.8 Das Taylorproblem .......................................................................................9

23. Kap 8.12 Symmetriebrechung ....................................................................................10
24. Kap 8.14 Instabilitätspunkte ....................................................................................10
25. Kap 9.8 Netzwerktheorie ............................................................................................10
26. Kap 10.2 Trajektorien ....................................................................................................10
27. Kap 10.3 Auftreten neuer Arten ............................................................................11
28. Kap 10.4 Das Nervennetzwerk ....................................................................................11
29. Kap 10.5 Die Diffusionskonstante ............................................................................11
30. Kap 10.6 Modellbildung in der Morphogenese: Physikalisches und Biologisches System .....................................................................................................................................11
31. Kap 11.1 Das Ising Modell ............................................................................................12
32. Kap 11.2 Lokale und allgemeine Phänomene ...................................................13
33. Kap 11.3 Wirtschaftsvorgänge, Technische Neuerungen, Innovationen ...........13
34. Kap 12.1 Chaos ............................................................................................................15
35. Kap 12.4 Die Lorenz Gleichungen ............................................................................15
36. Kap 12.5 Chaotische Bewegung ............................................................................16
37. Kap 12.6 Advanced Synergetics ............................................................................16
38. Kap 13 Analogien zwischen völlig verschiedenen Systemen ............................16

Ein System, das auf der Grenzlinie zwischen natürlichem System und von Menschenhand gemachtem Apparat liegt, ist der Laser. Wir behandeln den Laser, als Apparat, obwohl das Auftreten von Lasertätigkeit (im Mikrowellenbereich) auch im interstellaren Raum beobachtet wurde.

Kap. 1.2 Die erste Klasse der Beispiele bezog sich auf abgeschlossene Systeme. Daraus, sowie aus einer Vielzahl anderer Beispiele, schließt die Thermodynamik, dass die Entropie in abgeschlossenen Systemen niemals abnimmt. Dieses Theorem zu beweisen ist Aufgabe der statistischen Mechanik. Immerhin beleuchtet es das erste Grundproblem bei vielkomponentigen Systemen: Wie sieht eine adäquate Beschreibung in makroskopischen Begriffen aus oder, in welchen Moden wird das System arbeiten? Der Grund liegt in der Linearität der entsprechenden Bewegungsgleichungen, die dazu führt, dass irgendeine Superposition von Lösungen wieder eine Lösung dieser Gleichungen darstellt. Es wird sich herausstellen, dass die Gleichungen, die die Selbstorganisation regieren, nichtlinear sind.

Anstatt alle atomaren Koordinaten von sehr vielen Freiheitsgraden zu kennen, benötigen wir nur einen einzigen oder sehr wenige Parameter, z.B. die Amplitude einer Mode. Wie wir später sehen werden, bestimmen die Modenamplituden die Art und den Grad der Ordnung. Aufgrund dieser Tatsache werden wir sie als Ordnungsparameter bezeichnen und eine Verbindung zur Idee der Ordnungsparameter bei Phasenübergängen herstellen. Das Modenkonzept schließt eine Skalierungseigenschaft ein.

Raumzeitliche Muster können ähnlich sein, unterschiedlich bloß durch die Ausdehnung (Skala) der Amplitude. (Im Übrigen spielt dieses " Ähnlichkeitsprinzip " eine wichtige Rolle bei der Mustererkennung im Gehirn. Allerdings ist bisher kein Mechanismus bekannt, der dies erklären könnte. So wird beispielsweise ein Dreieck als solches erkannt, unabhängig von seiner Ausdehnung (Größe) und Lage).
Kap. 3 In diesem Kapitel wollen wir aufzeigen, wie wir durch eine gewisse Neuinterpretation der Wahrscheinlichkeit in eine scheinbar völlig verschiedene Disziplin, die Informationstheorie nämlich, Einblick gewinnen können.

Kap. 3.5 Da wir Prozesse untersuchen wollen, lassen wir jetzt zu, daß die Entropie S von der Zeit abhängt. Präziser ausgedrückt, wir betrachten zwei Untersysteme mit den Entropien S und S', die anfangs unter verschiedenen Bedingungen gehalten werden, z.B. auf verschiedenen Temperaturen. Die lokale Produktionsrate der Entropie führt zu einer zeitlichen Entropieänderung (erster Term auf der linken Seite) und einem Entropiefluss (zweiter Term).