���������������� ��������� (���, ������) (original) (raw)
���������������� ��������� (����� �) ������ ���������, � ������� �������������� ������ ��������� �������� ��������������� �������. �������� ��������� � �������� ������������ ���������� ������� ������ (�����) � ����������� ��������� ������������, � ����� ��������� ����� � ������������. ������ � � ����������� ��������� �������� �������������� �������, ������� ������� ����� ������ ����� �� �����. ��������������� ����� � �������� �������������� ������� � ����� (��������, �������� ��������� �������� ������������).
� �������������� �������, ��������� � �, ������ ��������� ��������� ����������� ���������. ��� �������, ��� ���������� ���������� � ���, ��� �������, �������� ��������� �������, �� ����� ���� ��� ���������� ���������������.
� �������� ������� �, ����������� ��� ��������� ��������� ������� �������������� ��������, ����� ����� ������� �� ������� ���������� ������������ ����� ������.
� � ������ ����� � ���������� ������� ������ L ����� ��������� ����������� ������ �� � ��������������� ��������� p (���. 1). ��� ���� ����������� �� �������� �������� ������� MN ��� �������������� ����������� ����� � � �� ������ L, � ��������������� ��������� ���� ������ ���������� ���������, ���������� ����� ����������� �� � ����� ��� ����������� � � �� L. ����������� �� ����� ������������� ����� ��� ������, �������� ����� ����������� � L ������ ����� �. ��������������� �� ��������� ������������ ����� ���������, �������� ����� ����������� � L ������ �.
� ��� �������������� �������������� �������������� ������ L ������ ������ ����� � ��������������� ��������������� ����������, �������������� ����� ����������, ���������� ����� � � �������� ����� ����������� � L ������ �. ��� �������� ���������� � ���, ��� ���� ��������� �������� ������ 1-�� � 2-�� ������� ������� �� ��������� � ������ ���� MN, �� ������� ������ L ������ � ����� ������� ����� ��������������� ����������. ��������������� ���������� �������� L � ����� � � ����������� � ��������������� ���������. �� ����� ���������� ������� �������� ������ L � ����� �, � ������ - �������� �������� L � �.
� ��� ��������� �������������� �������������� L � ����� � ������������ �������� k ������, ������ �������� �������� ������� R ��������������� ����������: k = 1/R. �������� k ����� ������������� � ��� ���� ���������� L �� ����������� �� (���. 1):
�
��� ��� �������� ��������� (��������) ����������� � L (���. 2):
�
��� a - ���� ����� ������������ � ������ � � , � D_s_ - ����� ���� MN.
� ����� ���������� ������ �� ��������������� ��������� p � ����� � ������ ��� ���������� �������� s, ������� ������������ ��� ������ ��������� ���� b ����� ���������������� ����������� � ������ � � � ����� D_s_ ���� MN ��� D_s_ R 0:
�
��� ���� ���� b ������� �� ������ +, ���� ��� ����������� � � �������� ��������������� ��������� � ��� ����������� � � ���������� ������ ������� �������, � �� ������ - � ��������� ������. �������� ������ ����� ������������� ��� �������� ��������� (��������) ��������������� ���������. � ���������, ��� ������� ������ ��������������� ��������� �� ���� ������ ��������� � ���������� ������ � ������� �������� ����� ������ �� ���� ������ ����� ����. �������� k � �������� s ���������� ������� ������ L ���������� � ������ �� ����� � ������������ ����� ������� ���������, ������������� ����� ���� ������. ��� ���������� k � s ������������ �����-���� ������ ������� ������. ���� ����� ������ L �������� ���������������� ����������� � ������������� �����������:
x = j(t), y = y(t), z = c(t).�������� (1)
��� ��������� ��������� t ����� � � ������������ (x, �, z) ��������� ������ L. ����� �������, ��������������� ��������� ������ ������� � �������������� � ������ ��� ���������� ���������� �����. ������ ����� (1) ����� ��������������� � ��� �������� �� ��� ��������� �������-������� r ���������� ����� � ������ L. ������ r" � ������������ {j¢(t), y¢(t), c¢(t)} ���������� ����������� ������-������� r (t) � ��������� �� ����������� � L � ����� �.
� �������� � �������� ����������� �� ��������
�
� s = r"r"r""/(r", r")2,
� ������� (r", r") - ���������, a r"r"r"" - ��������� ������������ (��. ��������� ����������).
� � ������ ������ � ������ L ������� ��� ��������� �������: ����������� (t), ������� ������� (n) � ��������� (b) (���. 1). ��� ���� ������ (n) ���������� � ��������������� ��������� � ��������� �� ����� � � ������ �������� L � �, � ������ b ����������� t � n � ��������� ���, ��� ������� t, n � b �������� ������ ������. ��������� ������ �������� �������� ��� ���������� ��������, ��� ��������������, ������ ������ L. ��������� �������� (n, b) � (t, b) ���������� �������������� ���������� � ����������� ����������� L � �.
� ������� ��� ����������� �������� t, n, b �� ����� s ���� L ���������� ��������� �����. ��� ������ ��������������� ���� ��� � ������ ������, ��� � � ����������� ���� ������ (� ��������, ������������� ������ � �.�.). ��� ������� ����� ���
�
���� �������� � �������� �� ����� ���� � ����� �, �� ����� ������� ������������ ���������� � ����� L ������ �: �������� L �� ��������������� � ���������� ��������� � � ����� ���, ������������ �������������� �� ���. 3 � 4. ����� �������� �� ����������� ��������� ������� �� ����� ��������. �� ���. 5 � 6 ���������� �������� L �� ����������� ��������� ��� s > 0 � s < 0. �������� � �������� ������ ���������� ������. ������, ���� ����� ������� ���� ������ ����������� ������������ ���, ��� ��������������� ���� ���� ������ ����� ���������� ����� � � ��������������� ������ ������ ����� ������ �������� � ������ ��������, �� ��� ������ ����� ���� ��������� ����������� ��������.
� �� �������� � ������� ����������� ��������� �������� ����� ������������. � ������ ����� � ���������� ������� ����������� ����� ��������� ����������� ��������� g � ���������� ������������ ��������������� ���������� p (���. 7), ������� ����� ���������� � �������������� ������� ��� ���������. ��� ���� ����������� ��������� ����� ������������� ��� ���������, �������� ����� ����������� � ������ �. ��������������� �� ���������� ��������������� ���, ��� � ����������� ����� � �� ��������� � � ��������� �� ������� �������� ������� ������� �� ��������� � ��������� ���� �����������. � ������� ��������������� ������������ ����� � ������������ ���������������� ��������� �������: ������������� (���. 8) (��������������� ���������� - �������������), ��������������� (���. 9) (��������������� ���������� - ���������������), �������������� (���. 10) (��������������� ���������� - �������������� �������), ����� ��������� (���. 11) (��������������� ���������� - ���������).
� ������ ��� ������������ �������� ����������� ������������ ��� ���������� ������ � ������ �������� ������������ ����� �����������.
� ����� ����������� ���������� ���������������� �����������:
x = j (u, v), y = y (u, v), z = c (u, v).��������� (2)
��� ������������� �������� v ��������� (2) ���������� �� �����, ���������� ������������ ������ u. ���������� ������������ ����� v. ������������ ����� u � v �������� �� ��������������� ���� (����, ��������, ����� ������� 1 ������ ���������������� �����������
� = cos u cos v, � = cos u sin v, z = sin u,
�� ��������������� ����� ����� u � v ����� ��������� � ��������� ���� �����). �������� u � v ���������� ����� ����������� ������������, �.�. ����� �� ����������� ���� ����� ����������� ���������� ����� ��� ������������ �����, �. �. ����� ���� ������� ����� ���������� �� ����������� ��� ��������� � ����������� ������������.
� ������-������ r ������������ ����� � �� ������������ ����������� (2) ��� ������� u � v. ������� ����������� ru � rv ���� ������� ���� �������, ����������� �������������� � ������ u � v. ��� ������� � ����� � ����� � ����������� ��������� � � �. ��������� ������������ (ru, rv) ���������� ������� � � ����� �.
� ����� s - ����� ���� ����� L �� � ����� u = f (t), v = g (t) - ��������������� ��������� �� ���������� �����������. �����, ����� L r � s ����� ��������� �� t, ������ ������������ s ������������ ���������� ds2 = dx2 + dy2 + dz2, ������ ����� �������� ���� ��������� ������� ������� dr = rudu + rvdv, �. �. ds2 = dr2. �������
ds2 = r2udu2 + 2_rurvdudv_ + r2vdv2.
� ������� ����������� r2u = �, rurv = , r2v = G ��������� ��� ds2 ����� �������� � ����
ds2 = Edu2 + 2_Fdudv_ + Gdv2.��������� (3)
������ ����� ����������� (3) ���������� ������ �������� ������������ ������ ����������� . � ������� ���� ����� ����� �������� ����� ��� �� ����������� ����� �������������� ���������
�
����� ��������������� ����. ������� ����� (3) ���������� ����� ����������� ������ �����������. ������ ����� ���������� ����� ���������� ��������� �����������, �. �. ������������ ������, ������� ����� ���� �������� ����� ��������� �� �����������, ��� ��������� � ����������� ������������. ���������� ��������� ����������� �� �������� ��� �� ��������� - ���������� ����������� ��� ��������� ������ � ������������ ������.
� ������ �������� ������������ ����� ����������� ������������ ����� ���������
Ldu2 + 2_�dudv_ + Ndv2,
� ������� L = ruun, � = ruvn, = rvvn (n - ��������� ������ ������� � � ����� �). � ������� ������ ����� ����� �������� ������������� � ���������������� ����� �����������. ��������, �������� 1/R ���������� ������� ����������� � ������ ����� � (�. �. ����� ����������� � �����������, ����������� ����� ������� � �) ����������� �� �������
�
��� �������� ����� �����������, �������� � �����-���� ���������� �����������, ���������� ����������� � ��������� �� ��������� � ������������. ���� ������ ��� �����
� Edu2 + 2_Fdudv_ + Gdv2
�
� Ldu2 + 2_Mdudv_ + Ndv2,
������ �� ������� �������������, � ������������ L, M � ������ ������������� ��������� ������� ���������, �� ������� ���� (���������� �. �������) ��������������, � ��� ������ (���������� �. �. ����������) - �������� ���������������� ��������� � �������� ������������ ������� �������, �� �������� �����������, ��� ������� ��� ����� �������� �������������� ������ � ������ ��������� �������.
� ���������� ��������� ������ - ��������� ������ ��������������� ���� � ������ ������������.
� ��������� � ������������ ��. ������������ ������.
� ����� �� �������� ������������ � � �������� ��������� ������ � ������������. ����� ��������� �������� ����������� ���������, ���������� ���������. ��������, ��������� (� - a)2 + �2 = 1, ���������� �������� a, ���������� ��������� ����������� ������� 1 � �������� � ������ (a, 0), �. �. �� ��� Ox (���. 12). � ���������� ������ (������������) ������� ������� ��������� - ����� ������ (�����������), ������� �������� ���� ������ (������������) ���������. � ������������� ���� ������� ��������� ����� ���� ������������ ��� Ox ������, ��������� �� ��� �� ���������� 1. �������� �������� � � ����������� ������������������ ��������� ������ b � ������������, ���������� �������������. ���������� ������ ����������� - ��������� ������������ ������ � ������������. ������� ������ ����������� �������� �������������� ������.
� ��������� ������� � ��������� �������� �� ������������ �������� ��� ���������� ���������������-�������������� ������������. ��������� ����� ������������ ����� ������� ������ (���������� ������������), ����������� (��������� ������������), ������� ��������� ������������ (���������� ������������). ����� ������� �������� ����� ������� ������������� ������������, ���������� �������� �������� ������ �������� ��������� ������������ (������ � ���������� ����������� ������������ ����������� ���� z = ax + b, z = �� + d; ����� a, b, �, d ����� ������������� ��� ���������� ���� ������).
� �������� ���������������-�������������� ������������ ������� �� ��������� �������� ������������. 1) ��������� ������������ ������ ����������� ������������ �� ����, ��� ��������� "��������� ������" �����������. � �������� ���� �������� ������ ������� ������������ ��������� � (�������� ����������� ������ �������� ��������� ������������), ��������, ����������� � ���������� ��������� (�������� ����������� ��������������� ������ ��������������). 2) ��������� ������������ � ��������� �������� (��������� �����������), �������������� ����� ��������� �� ����������� ������ ���������� ��������� ������������, ������� ����� ������������� ��� ��������� �������� ������������. ��������� ��������� ����������� ������ ������ ���� � ������ ���������������. 3) ��������� ��� ���������� ����������� �����������, ���������� ���������� ��������� �����������. 4) ��������� ������������ �� ����������, �. �. ������������, � ������� ������ ������, � ������� �������� ����� ���������� �������������� ������, ������������� � ����������� ������������� � ������ ������.
� ������������� � ������� � ������� �. ������ � �. �����. ��� � ����� 18 �. ���� �������� ������ ����� ������ ������������. ������������ ����� � �������� � ������ � ������ 19 �. �. �������, ������� ���� ��� �������� ������������ �����. �� �� ���� �������� ������� �� �������������� ������ �������� ������������ �������������� ��������������. ���������� �� ���� �������� ������ ���������� ��������� ������������. ���������� ����� ������������ ������ ������������ ���� ��������� � �������� 19 �. ����������� ���������� �������������� ����� �. �. ����������. � �������� � �� 2-� �������� 19 �. ����� �������� � ����� ����������� �� ������������ ������ ������������ ���� �������� �. ���������, �. ���������, �. ���������, �. �. �����, �. ������. ��� ������������� ����������� �� ������������ � ��� ������� �������� ������� �. �. ��������, �. �. �������, �. �. ��������� � ��.
� �������� ��. ����������� � � ������� � ������� �. ������, �. ����, �. ������, �. �����, �. �������.
� � ���� ��������������� ��������� ����������� �; ���������� ������ ��������� � ������� ������� "� �����" (�. �. �����������, �. �. ��������� � ��.).
� ���.: ���� �., ���������� ������� � ���������, ���. � �����., �. - �., 1936; ������ �. ��., ����� ������� ���������������� ��������� �� XX ��������, ���. � ����., �. - �., 1941; ��������� �. �., �, 5 ���., �., 1969; ��������� �. �., ���� ���������������� ���������, 3 ���., �., 1950; ������ �., �������� � ���������������� ���������, ���. � ���., �., 1957; ��������� �. �., �������� ��������� � ��������� ������, 2 ���., �., 1964; ����������� �. �., ���������� ��������� �������� ������������, �. - �., 1948; ��������� �. �., ������� ��������� �������� ������������, �., 1969.
� �. �. ������.