���������������� ��������� (���, ������) (original) (raw)

���������������� ��������� (����� ) ������ ���������, � ������� �������������� ������ ��������� �������� ��������������� �������. �������� ��������� �������� ������������ ���������� ������� ������ (�����) � ����������� ��������� ������������, � ����� ��������� ����� � ������������. ������ � ����������� ��������� �������� �������������� �������, ������� ������� ����� ������ ����� �� �����. ��������������� ����� � �������� �������������� ������� � ����� (��������, �������� ��������� �������� ������������).

� �������������� �������, ��������� � , ������ ��������� ��������� ����������� ���������. ��� �������, ��� ���������� ���������� � ���, ��� �������, �������� ��������� �������, �� ����� ���� ��� ���������� ���������������.

� �������� ������� , ����������� ��� ��������� ��������� ������� �������������� ��������, ����� ����� ������� �� ������� ���������� ������������ ����� ������.

� � ������ ����� ���������� ������� ������ L ����� ��������� ����������� ������ ����������������� ��������� p (���. 1). ��� ���� ����������� �� �������� �������� ������� MN ��� �������������� ����������� ����� � �� ������ L, � ��������������� ��������� ���� ������ ���������� ���������, ���������� ����� ����������� �� � ����� ��� ����������� � �� L. ����������� �� ����� ������������� ����� ��� ������, �������� ����� ����������� � L ������ ����� . ��������������� �� ��������� ������������ ����� ���������, �������� ����� ����������� � L ������ .

� ��� �������������� �������������� �������������� ������ L ������ ������ ����� ��������������� ��������������� ����������, �������������� ����� ����������, ���������� ����� � �������� ����� ����������� � L ������ . ��� �������� ���������� � ���, ��� ���� ��������� �������� ������ 1-�� � 2-�� ������� ������� �� ��������� � ������ ���� MN, �� ������� ������ L ������ ����� ������� ����� ��������������� ����������. ��������������� ���������� �������� L � ����� � ����������� � ��������������� ���������. �� ����� ���������� ������� �������� ������ L � ����� , � ������ - �������� �������� L.

� ��� ��������� �������������� �������������� L � ����� ������������ �������� k ������, ������ �������� �������� ������� R ��������������� ����������: k = 1/R. �������� k ����� ������������� � ��� ���� ���������� L �� ����������� �� (���. 1):

��� ��� �������� ��������� (��������) ����������� � L (���. 2):

��� a - ���� ����� ������������ � ������ � , � D_s_ - ����� ���� MN.

� ����� ���������� ������ �� ��������������� ��������� p � ����� ������ ��� ���������� �������� s, ������� ������������ ��� ������ ��������� ���� b ����� ���������������� ����������� � ������ � � ����� D_s_ ���� MN ��� D_s_ R 0:

��� ���� ���� b ������� �� ������ +, ���� ��� ����������� � �������� ��������������� ��������� � ��� ����������� � ���������� ������ ������� �������, � �� ������ - � ��������� ������. �������� ������ ����� ������������� ��� �������� ��������� (��������) ��������������� ���������. � ���������, ��� ������� ������ ��������������� ��������� �� ���� ������ ��������� � ���������� ������ � ������� �������� ����� ������ �� ���� ������ ����� ����. �������� k � �������� s ���������� ������� ������ L ���������� � ������ �� ����� � ������������ ����� ������� ���������, ������������� ����� ���� ������. ��� ���������� k � s ������������ �����-���� ������ ������� ������. ���� ����� ������ L �������� ���������������� ����������� � ������������� �����������:

x = j(t), y = y(t), z = c(t).�������� (1)

��� ��������� ��������� t ����� � ������������ (x, , z) ��������� ������ L. ����� �������, ��������������� ��������� ������ ������� � �������������� � ������ ��� ���������� ���������� �����. ������ ����� (1) ����� ��������������� � ��� �������� �� ��� ��������� �������-������� r ���������� ����� ������ L. ������ r" � ������������ {j¢(t), y¢(t), c¢(t)} ���������� ����������� ������-������� r (t) � ��������� �� ����������� � L � ����� .

� �������� � �������� ����������� �� ��������

� s = r"r"r""/(r", r")2,

� ������� (r", r") - ���������, a r"r"r"" - ��������� ������������ (��. ��������� ����������).

� � ������ ������ ������ L ������� ��� ��������� �������: ����������� (t), ������� ������� (n) � ��������� (b) (���. 1). ��� ���� ������ (n) ���������� � ��������������� ��������� � ��������� �� ����� � ������ �������� L, � ������ b ����������� tn � ��������� ���, ��� ������� t, nb �������� ������ ������. ��������� ������ �������� �������� ��� ���������� ��������, ��� ��������������, ������ ������ L. ��������� �������� (n, b) � (t, b) ���������� �������������� ���������� � ����������� ����������� L.

� ������� ��� ����������� �������� t, n, b �� ����� s ���� L ���������� ��������� �����. ��� ������ ��������������� ���� ��� � ������ ������, ��� � � ����������� ���� ������ (� ��������, ������������� ������ � �.�.). ��� ������� ����� ���

���� �������� � �������� �� ����� ���� � ����� , �� ����� ������� ������������ ���������� � ����� L ������ : �������� L �� ��������������� � ���������� ��������� � � ����� ���, ������������ �������������� �� ���. 34. ����� �������� �� ����������� ��������� ������� �� ����� ��������. �� ���. 56 ���������� �������� L �� ����������� ��������� ��� s > 0 � s < 0. �������� � �������� ������ ���������� ������. ������, ���� ����� ������� ���� ������ ����������� ������������ ���, ��� ��������������� ���� ���� ������ ����� ���������� ����� � � ��������������� ������ ������ ����� ������ �������� � ������ ��������, �� ��� ������ ����� ���� ��������� ����������� ��������.

� �� �������� � ������� ����������� ��������� �������� ����� ������������. � ������ ����� ���������� ������� ����������� ����� ��������� ����������� ��������� g � ���������� ������������ ��������������� ���������� p (���. 7), ������� ����� ���������� � �������������� ������� ��� ���������. ��� ���� ����������� ��������� ����� ������������� ��� ���������, �������� ����� ����������� � ������ . ��������������� �� ���������� ��������������� ���, ��� � ����������� ����� �� ��������� � � ��������� �� ������� �������� ������� ������� �� ��������� � ��������� ���� �����������. � ������� ��������������� ������������ ����� ������������ ���������������� ��������� �������: ������������� (���. 8) (��������������� ���������� - �������������), ��������������� (���. 9) (��������������� ���������� - ���������������), �������������� (���. 10) (��������������� ���������� - �������������� �������), ����� ��������� (���. 11) (��������������� ���������� - ���������).

� ������ ��� ������������ �������� ����������� ������������ ��� ���������� ������ � ������ �������� ������������ ����� �����������.

� ����� ����������� ���������� ���������������� �����������:

x = j (u, v), y = y (u, v), z = c (u, v).��������� (2)

��� ������������� �������� v ��������� (2) ���������� �� �����, ���������� ������������ ������ u. ���������� ������������ ����� v. ������������ ����� uv �������� �� ��������������� ���� (����, ��������, ����� ������� 1 ������ ���������������� �����������

= cos u cos v, = cos u sin v, z = sin u,

�� ��������������� ����� ����� uv ����� ��������� � ��������� ���� �����). �������� uv ���������� ����� ����������� ������������, �.�. ����� �� ����������� ���� ����� ����������� ���������� ����� ��� ������������ �����, �. �. ����� ���� ������� ����� ���������� �� ����������� ��� ��������� � ����������� ������������.

� ������-������ r ������������ ����� �� ������������ ����������� (2) ��� ������� uv. ������� ����������� rurv ���� ������� ���� �������, ����������� �������������� � ������ uv. ��� ������� � ����� ����� � ����������� ��������� � � . ��������� ������������ (ru, rv) ���������� ������� � � ����� .

� ����� s - ����� ���� ����� L �� � ����� u = f (t), v = g (t) - ��������������� ��������� �� ���������� �����������. �����, ����� L rs ����� ��������� �� t, ������ ������������ s ������������ ���������� ds2 = dx2 + dy2 + dz2, ������ ����� �������� ���� ��������� ������� ������� dr = rudu + rvdv, �. �. ds2 = dr2. �������

ds2 = r2udu2 + 2_rurvdudv_ + r2vdv2.

� ������� ����������� r2u = , rurv = , r2v = G ��������� ��� ds2 ����� �������� � ����

ds2 = Edu2 + 2_Fdudv_ + Gdv2.��������� (3)

������ ����� ����������� (3) ���������� ������ �������� ������������ ������ ����������� . � ������� ���� ����� ����� �������� ����� ��� �� ����������� ����� �������������� ���������

����� ��������������� ����. ������� ����� (3) ���������� ����� ����������� ������ �����������. ������ ����� ���������� ����� ���������� ��������� �����������, �. �. ������������ ������, ������� ����� ���� �������� ����� ��������� �� �����������, ��� ��������� � ����������� ������������. ���������� ��������� ����������� �� �������� ��� �� ��������� - ���������� ����������� ��� ��������� ������ � ������������ ������.

� ������ �������� ������������ ����� ����������� ������������ ����� ���������

Ldu2 + 2_�dudv_ + Ndv2,

� ������� L = ruun, = ruvn, = rvvn (n - ��������� ������ ������� � � ����� ). � ������� ������ ����� ����� �������� ������������� � ���������������� ����� �����������. ��������, �������� 1/R ���������� ������� ����������� � ������ ����� (�. �. ����� ����������� � �����������, ����������� ����� ������� � ) ����������� �� �������

��� �������� ����� �����������, �������� � �����-���� ���������� �����������, ���������� ����������� � ��������� �� ��������� � ������������. ���� ������ ��� �����

Edu2 + 2_Fdudv_ + Gdv2

Ldu2 + 2_Mdudv_ + Ndv2,

������ �� ������� �������������, � ������������ L, M � ������ ������������� ��������� ������� ���������, �� ������� ���� (���������� �. �������) ��������������, � ��� ������ (���������� �. �. ����������) - �������� ���������������� ��������� � �������� ������������ ������� �������, �� �������� �����������, ��� ������� ��� ����� �������� �������������� ������ � ������ ��������� �������.

� ���������� ��������� ������ - ��������� ������ ��������������� ���� � ������ ������������.

� ��������� � ������������ ��. ������������ ������.

� ����� �� �������� ������������ � �������� ��������� ������ � ������������. ����� ��������� �������� ����������� ���������, ���������� ���������. ��������, ��������� ( - a)2 + �2 = 1, ���������� �������� a, ���������� ��������� ����������� ������� 1 � �������� � ������ (a, 0), �. �. �� ��� Ox (���. 12). � ���������� ������ (������������) ������� ������� ��������� - ����� ������ (�����������), ������� �������� ���� ������ (������������) ���������. � ������������� ���� ������� ��������� ����� ���� ������������ ��� Ox ������, ��������� �� ��� �� ���������� 1. �������� �������� � ����������� ������������������ ��������� ������ b � ������������, ���������� �������������. ���������� ������ ����������� - ��������� ������������ ������ � ������������. ������� ������ ����������� �������� �������������� ������.

� ��������� ������� ��������� �������� �� ������������ �������� ��� ���������� ���������������-�������������� ������������. ��������� ����� ������������ ����� ������� ������ (���������� ������������), ����������� (��������� ������������), ������� ��������� ������������ (���������� ������������). ����� ������� �������� ����� ������� ������������� ������������, ���������� �������� �������� ������ �������� ��������� ������������ (������ � ���������� ����������� ������������ ����������� ���� z = ax + b, z = �� + d; ����� a, b, , d ����� ������������� ��� ���������� ���� ������).

� �������� ���������������-�������������� ������������ ������� �� ��������� �������� ������������. 1) ��������� ������������ ������ ����������� ������������ �� ����, ��� ��������� "��������� ������" �����������. � �������� ���� �������� ������ ������� ������������ ��������� (�������� ����������� ������ �������� ��������� ������������), ��������, ����������� � ���������� ��������� (�������� ����������� ��������������� ������ ��������������). 2) ��������� ������������ � ��������� �������� (��������� �����������), �������������� ����� ��������� �� ����������� ������ ���������� ��������� ������������, ������� ����� ������������� ��� ��������� �������� ������������. ��������� ��������� ����������� ������ ������ ���� � ������ ���������������. 3) ��������� ��� ���������� ����������� �����������, ���������� ���������� ��������� �����������. 4) ��������� ������������ �� ����������, �. �. ������������, � ������� ������ ������, � ������� �������� ����� ���������� �������������� ������, ������������� � ����������� ������������� � ������ ������.

� ������������� ������� � ������� �. ������ � �. �����. ��� � ����� 18 �. ���� �������� ������ ����� ������ ������������. ������������ ����� � �������� ������ � ������ 19 �. �. �������, ������� ���� ��� �������� ������������ �����. �� �� ���� �������� ������� �� �������������� ������ �������� ������������ �������������� ��������������. ���������� �� ���� �������� ������ ���������� ��������� ������������. ���������� ����� ������������ ������ ������������ ���� ��������� � �������� 19 �. ����������� ���������� �������������� ����� �. �. ����������. � �������� � �� 2-� �������� 19 �. ����� �������� � ����� ����������� �� ������������ ������ ������������ ���� �������� �. ���������, �. ���������, �. ���������, �. �. �����, �. ������. ��� ������������� ����������� �� ������������ ��� ������� �������� ������� �. �. ��������, �. �. �������, �. �. ��������� � ��.

� �������� ��. ����������� � ������� � ������� �. ������, �. ����, �. ������, �. �����, �. �������.

� � ���� ��������������� ��������� ����������� ; ���������� ������ ��������� � ������� ������� "� �����" (�. �. �����������, �. �. ��������� � ��.).

���.: ���� �., ���������� ������� � ���������, ���. � �����., �. - �., 1936; ������ �. ��., ����� ������� ���������������� ��������� �� XX ��������, ���. � ����., �. - �., 1941; ��������� �. �., , 5 ���., �., 1969; ��������� �. �., ���� ���������������� ���������, 3 ���., �., 1950; ������ �., �������� � ���������������� ���������, ���. � ���., �., 1957; ��������� �. �., �������� ��������� � ��������� ������, 2 ���., �., 1964; ����������� �. �., ���������� ��������� �������� ������������, �. - �., 1948; ��������� �. �., ������� ��������� �������� ������������, �., 1969.

� �. �. ������.