スケール不変性とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)
スケール不変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/09 00:51 UTC 版)
冪乗則を非常に興味深いものとする主な性質は、スケール不変性にある。 f ( x ) = a x k {\displaystyle f(x)=ax^{k}} という関係、あるいはいかなる同次多項式であっても、定数因子によって独立変数 x {\displaystyle x} のスケールを変化させることは、関数それ自体のスケーリングの比例に帰結するだけだ。 f ( c x ) = a ( c x ) k = c k f ( x ) ∝ f ( x ) {\displaystyle f(cx)=a(cx)^{k}=c^{k}f(x)\propto f(x)} この式は、定数によるスケーリングとは、単に元の冪乗則関係に定数、 c k {\displaystyle c^{k}} を乗じることであることを示す。このように、特定のスケーリング指数を持つすべての冪乗則は、定数倍と同等となる。なぜならば、ひとつひとつが他の要因のスケールされた版であるからだ。このふるまいは、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} と x {\displaystyle x} の両対数をとったときに、線型関係を産むことになる。こうした対数-対数プロットにおける直線関係は、よく冪乗則のsignatureと呼ばれる。しかし、実際のデータにおいて、こうした直線関係は必要条件であっても、冪乗則関係にデータが従っているとする十分条件ではないことに注意すべきだ。事実、こうしたsignatureを示すふるまいを模倣するデータの有限な量を生成する方法は数多く存在する。本当の冪乗則ではない、単なる模倣のデータでは漸近的な限界がある。こうして、冪乗則モデルを正確にフィッティングし、正当性を立証することは、統計学的な研究の活発な領域となる。
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スケール不変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/25 14:40 UTC 版)
「ワイエルシュトラス関数」の記事における「スケール不変性」の解説
ワイエルシュトラス関数では和をn ≥ 0 についてのみとるため厳密にはスケール不変とはならない。 w ( b x ) = b − 1 ∑ n = 0 ∞ b n + 1 cos ( b n + 1 π x ) = b − 1 ∑ n = − 1 ∞ b n + 1 cos ( b n + 1 π x ) − b − 1 b 0 cos ( b 0 π x ) = b − 1 [ w ( x ) − cos π x ] ≠ b − 1 w ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}w(bx)&=b^{-1}\sum _{n=0}^{\infty }b^{n+1}\cos {(b^{n+1}\pi x)}\\&=b^{-1}\sum _{n=-1}^{\infty }b^{n+1}\cos {(b^{n+1}\pi x)}-b^{-1}b^{0}\cos(b^{0}\pi x)\\&=b^{-1}\left[w(x)-\cos \pi x\right]\\&\neq b^{-1}w(x)\end{aligned}}} したがって、厳密な意味での自己相似性をもたない。
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スケール不変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/25 14:40 UTC 版)
「ワイエルシュトラス関数」の記事における「スケール不変性」の解説
特定の条件下でのみスケール不変となる。 W ( γ t ) = ∑ n = − ∞ ∞ e − i μ γ η ⋅ ( 1 − e i γ ( n + 1 ) t ) e i ϕ n + 1 γ η ( n + 1 ) = e − i μ γ η W ( t ) = γ η W ( t ) {\displaystyle W(\gamma t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\mu }\gamma ^{\eta }\cdot {\frac {(1-e^{i\gamma ^{(n+1)}t})e^{i\phi _{n+1}}}{\gamma ^{\eta (n+1)}}}=e^{-i\mu }\gamma ^{\eta }W(t)=\gamma ^{\eta }W(t)} ただし、φn = μn、μ = 0、η = 2−D このように特定の因子についてのみスケール不変となるものを離散的スケール不変性(DSI, Discrete Scale Invariance)という。
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スケール不変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 05:29 UTC 版)
スカラー場の理論がスケール不変性を持つ、つまりスケール変換 x → λ x {\displaystyle x\rightarrow \lambda x} ϕ → λ − Δ ϕ {\displaystyle \phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi } のもとで不変であることには特別な意味がある。作用は質量次元が0となるよう設定されているが、全ての作用がスケール変換のもとで不変とは限らない。これは、作用の中に含まれるパラメータmや gn が固定された量、すなわち上記の変換のもとでの不変量として扱われるためである。このことから、スカラー場のスケール不変性の条件は、作用の中に含まれる全てのパラメータの質量次元が0であることである。言い換えると、スケール不変な理論は固定された長さスケール（すなわち、質量スケール）を持たない理論であり、固定された長さスケールを持つ理論はスケール不変でない。 D次元の時空におけるスカラー場の理論において、唯一の無次元量の結合定数 gn は、nが n = 2 D D − 2 {\displaystyle n={\frac {2D}{D-2}}} のときである。例えば、D=4においては結合定数 g4 のみが古典的な無次元量となるので、D=4における唯一の古典的にスケール不変なスカラー場の理論は、質量項を持たないφ4理論となる。 通常、古典場がスケール不変であるとき、それと対応する量子場は必ずしもスケール不変であるとは限らない。このように、古典論で成立していた対称性が量子論で破れることをアノマリーと呼ぶ。
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スケール不変性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/10/15 07:17 UTC 版)
「ベータ関数 (物理学)」の記事における「スケール不変性」の解説
一般に、結合定数がある値をとりベータ関数がゼロになるとき、その理論はスケール不変になる。このときの結合定数の値は繰り込み群の固定点と呼ばれ、固定点においてベータ関数の傾きが負の場合は紫外固定点、正の場合は赤外固定点となる。スケール不変な場の量子論の全ては共形不変であり、そのような理論は共形場理論と呼ばれる。
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