「ステートメント」の意味や使い方 わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)
ステートメント
ステートメント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/12 16:18 UTC 版)
M g , n {\displaystyle M_{g,n}} を n 個の異るマークした点 x1,...,xn を持つ種数 g のコンパクトリーマン面のモジュライスタックとして、 M ~ g , n {\displaystyle {\widetilde {M}}_{g,n}} をそのドリーニュ–マンフォードコンパクト化とすると、 M ~ g , n {\displaystyle {\widetilde {M}}_{g,n}} 上に n 個のラインバンドル L i {\displaystyle L_{i}} が存在し、そのモジュライスタックの点でのファイバーは、マークした点 xi でのリーマン面の余接空間であるようにすることができる。交叉指数(intersection index) ⟨ τ d 1 , … , τ d n ⟩ {\displaystyle \langle \tau _{d_{1}},\dots ,\tau _{d_{n}}\rangle } は、 M ~ g , n {\displaystyle {\widetilde {M}}_{g,n}} 上の ∏ c 1 ( L i ) d i {\displaystyle \prod c_{1}(L_{i})^{d_{i}}} の交叉指数である。ここに ∑ d i = M ~ g , n = 3 g − 3 + n {\displaystyle \sum d_{i}={\widetilde {M}}_{g,n}=3g-3+n} であり、もしそのような g が存在しない場合は、この総和は 0 とする。また c1 はラインバンドルの第一チャーン類とする。ウィッテンの母函数 F ( t 0 , t 1 , … ) = ∑ ⟨ τ 0 k 0 τ 1 k 1 ⋯ ⟩ ∏ i ≥ 0 t i k i k i ! = t 0 3 6 + t 1 24 + t 0 t 2 24 + t 1 2 24 + t 0 2 t 3 48 + ⋯ {\displaystyle F(t_{0},t_{1},\ldots )=\sum \langle \tau _{0}^{k_{0}}\tau _{1}^{k_{1}}\cdots \rangle \prod _{i\geq 0}{\frac {t_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}={\frac {t_{0}^{3}}{6}}+{\frac {t_{1}}{24}}+{\frac {t_{0}t_{2}}{24}}+{\frac {t_{1}^{2}}{24}}+{\frac {t_{0}^{2}t_{3}}{48}}+\dotsb } は、すべての交叉指数を係数の中にエンコードする。 ウィッテン予想は、分配函数 Z = exp F {\displaystyle Z=\exp {F}} がKdV階層（英語版）(KdV hierarchy)の τ函数であるという予想であり、言い替えると、この函数は、i ≥ −1 に対するヴィラソロ代数の元 L i {\displaystyle L_{i}} と対応する一連の偏微分方程式系を満たす。
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ステートメント
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/21 21:29 UTC 版)
「ノルム剰余同型定理」の記事における「ステートメント」の解説
体 k {\displaystyle k} において可逆な整数 ℓ {\displaystyle \ell } に対し、自然な写像 ∂ : k ∗ → H 1 ( k , μ ℓ ) {\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{\ell })} が存在する。ここで μ ℓ {\displaystyle \mu _{\ell }} は k {\displaystyle k} の分離閉包における1の ℓ {\displaystyle \ell } -乗根のなす群であり、 H n ( k , − ) {\displaystyle H^{n}(k,{-})} は k {\displaystyle k} のガロアコホモロジーである。この写像は同型 k × / ( k × ) ℓ ≅ H 1 ( k , μ ℓ ) {\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{\ell }\cong H^{1}(k,\mu _{\ell })} を導く。これがK-理論に関連していることの最初のヒントは、 k × {\displaystyle k^{\times }} が群 K 1 ( k ) {\displaystyle K_{1}(k)} であることである。テンソル積をとりカップ積を適用することで、写像 ∂ {\displaystyle \partial } は ∂ n : k × ⊗ ⋯ ⊗ k × → H n ( k , μ ℓ ⊗ n ) . {\displaystyle \partial ^{n}:k^{\times }\otimes \cdots \otimes k^{\times }\rightarrow H^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).} に拡張される。これらの写像は k ∖ { 0 , 1 } {\displaystyle k\setminus \{0,1\}} のすべての元 a {\displaystyle a} に対して ∂ n ( … , a , … , 1 − a , … ) {\displaystyle \partial ^{n}(\ldots ,a,\ldots ,1-a,\ldots )} が0になるという性質を持つ。これはミルナーのK-理論の定義関係式である。具体的には、ミルナーK-理論は次の環の斉次部分として定義される： K ∗ M ( k ) = T ( k × ) / ( { a ⊗ ( 1 − a ) : a ∈ k ∖ { 0 , 1 } } ) . {\displaystyle K_{*}^{M}(k)=T(k^{\times })/(\{a\otimes (1-a)\colon a\in k\setminus \{0,1\}\})\ .} ここで T ( k × ) {\displaystyle T(k^{\times })} は乗法群 k × {\displaystyle k^{\times }} のテンソル代数であり、商は a ⊗ ( 1 − a ) {\displaystyle a\otimes (1-a)} の形をしたすべての元で生成される両側イデアルによるものである。従って写像 ∂ n {\displaystyle \partial ^{n}} は写像 ∂ n : K n M ( k ) → H n ( k , μ ℓ ⊗ n ) {\displaystyle \partial ^{n}\colon K_{n}^{M}(k)\to H^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})} を経由する。この写像はガロア記号(Galois symbol)、あるいはノルム剰余(norm residue)写像と呼ばれる。mod- ℓ {\displaystyle \ell } ガロアコホモロジーは ℓ {\displaystyle \ell } -捻れ群であるので、この写像はさらに K n M ( k ) / ℓ {\displaystyle K_{n}^{M}(k)/\ell } を経由する。 ノルム剰余同型定理（もしくはブロック・加藤の予想）は、体 k {\displaystyle k} と k {\displaystyle k} で可逆な整数 ℓ {\displaystyle \ell } に対し、ミルナーのK-理論から mod- ℓ {\displaystyle \ell } ガロアコホモロジーへのノルム剰余写像 ∂ n : K n M ( k ) / ℓ → H n ( k , μ ℓ ⊗ n ) {\displaystyle \partial ^{n}:K_{n}^{M}(k)/\ell \to H^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})} は同型であるという定理である。 ℓ = 2 {\displaystyle \ell =2} の場合がミルナー予想であり、 n = 2 {\displaystyle n=2} の場合がメルクリエフ・ススリンの定理 (Merkurjev–Suslin theorem) である。
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/12 14:55 UTC 版)
「ヒルベルトの定理90」の記事における「ステートメント」の解説
K/k を n 次巡回拡大で、そのガロワ群を G とし、σ が G を生成するとする。このとき、β∈K に対して、ノルム NK/k(β) が 1 であることと、ある 0≠α∈K が存在して β=α/σα となることは同値である。
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ステートメント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/06 07:48 UTC 版)
任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、 ( A , ∂ ∙ ) , ( B , ∂ ∙ ′ ) , ( C , ∂ ∙ ″ ) {\displaystyle ({\mathcal {A}},\partial _{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial _{\bullet }'),({\mathcal {C}},\partial _{\bullet }'')} が以下の短完全列を満たす鎖複体だとする： 0 ⟶ A ⟶ α B ⟶ β C ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {C}}\longrightarrow 0} この系列は以下の可換図式の略記であるとする： ここで各行は全て完全で、各列は全て鎖複体である。 ジグザグ補題は、境界写像（族） δ n : H n ( C ) ⟶ H n − 1 ( A ) , {\displaystyle \delta _{n}:H_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H_{n-1}({\mathcal {A}}),} が存在して、次の系列を完全にすることができることを主張する： α ∗ {\displaystyle \alpha _{*}^{}} と β ∗ {\displaystyle \beta _{*}^{}} は、通常のやり方で誘導されたホモロジー群の間の写像である。境界写像 δ n {\displaystyle \delta _{n}^{}} は以下の節で説明する。この補題の名称は、系列における写像が「ジグザグ」に走ることから来ている。不運な用語法のバッティングにより、ホモロジー代数には『蛇の補題』の名を持つ別の結果があるにもかかわらず、この命題（ジグザグ補題）はその名（蛇の補題）でも一般に知られている。蛇の補題を使うと、ジグザグ補題のここに記すものとは別の証明が得られる。
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