モジュラー形式とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

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モジュラー形式は、モジュラー群という大きな群についての対称性をもつ上半平面上の複素解析的関数である。歴史的には数論で興味をもたれる対象であり、現代においても主要な研究対象である一方で、代数トポロジーや弦理論などの他分野にも現れる。

モジュラー関数（英: modular function）[note 1]は重さ 0 、つまりモジュラー群の作用に関して不変であるモジュラー形式のことを言う。そしてそれゆえに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の関数として理解することができる。また、「モジュラー関数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点で f(z) が正則性を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー関数は無限遠点では有理型である。

モジュラー形式論は、もっと一般の場合である**保型形式論**の特別な場合であり、従って現在では、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。

SL2(Z) のモジュラー形式

標準的な定義

**モジュラー群**とは次の群のことをいう。

S L ( 2 , Z ) = { ( a b c d ) | a , b , c , d ∈ Z , a d − b c = 1 } {\displaystyle SL(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}

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