ラヨ数とは - わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

	この項目「ラヨ数」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：en:Rayo's number#Explanation (16:54, 22 September 2022)）修正、加筆に協力し、現在の表現をより自然な表現にして下さる方を求めています。ノートページや履歴も参照してください。（2022年10月）

ラヨ数（ラヨすう、英: Rayo's number）とはアグスティン・ラヨ（スペイン語版）にちなんで名付けられた巨大数であり、彼の手掛けた最大の数と主張されている[1][2] 。これは元々2007年1月26日にマサチューセッツ工科大学 (MIT) にて行われたイベント「巨大数決闘（big number duelもしくはLarge Number Championship）」にて定義された[3][4][5][6][注釈 1]。

定義

[集合論においてグーゴル個以内の記号で表現された任意の有限数よりも大きい最小の数]

[注釈 2]この定義文は、ルール違反[注釈 3]を避けるために以下のように置き換えられた[7]。

数の正式の定義は以下の二階論理の式で定義された関数Sat([φ(x1)],s)を利用する。[φ]はゲーデルコード化（ゲーデル数によるナンバリング）された式であり、sは代入変数である[7]。

∀R {

{任意の（コード化された）式 [ψ] と任意の代入変数 t
(R( [ψ],t) ↔
( ([ψ] = `x_i ∈ x_j' ∧ t(x_1) ∈ t(x_j)) ∨
([ψ] = `x_i = x_j' ∧ t(x_1) = t(x_j)) ∨
([ψ] = `(∼θ)' ∧ ∼R([θ],t)) ∨
([ψ] = `(θ∧ξ)' ∧ R([θ],t) ∧ R([ξ],t)) ∨
([ψ] = `∃x_i (θ)' と、いくつかのtのxi変形t', R([θ],t'))
)} →

R([φ],s)}

この式Sat([φ(x1)],s)を用いて、ラヨ数は次の様に定義された[7]。

以下の性質を持つあらゆる有限数mよりも大きい最小の数。:（Satの定義と同様に）一階の集合論の言語においてグーゴル個未満の記号と唯一の自由変数x1で表現される式 φ(x1)の表す数。但しφ(x1)は以下の条件を満たす。(a)Sat([φ(x1)],s)及びm=x1が成り立つ変数sがある。かつ（b）Sat([φ(x1)],t)及びm=x1が成り立つ変数tがある。

厳密には、公理系が明示的に書かれていないため、定義が不完全である。[_要出典_]

説明

直観的には、ラヨ数は形式言語で次のように定義される:

• "xi∈xj" と "xi=xj" は原子論理式である。
• θ が式の際に、 "(~θ)" は式（ θ の否定）である。
• θ と ξ が式の際に、"(θ∧ξ)" は式（ θ と ξ の連言）である。
• θ が式の際に、 "∃xi(θ)" は式（ θ の存在量化）である。

括弧を削除することは許可されていないことに注意が必要である。例えば、"∃xi(~θ)" では無く "∃xi((~θ))" と書かなくてはならない。

欠落している論理接続詞（英語版）をこの言語で表現することは可能である。例えば：

• 論理和: "(θ∨ξ)" は "(~((~θ)∧(~ξ)))" と同等。
• 論理包含（含意）: "(θ⇒ξ)" は "(~(θ∧(~ξ)))" と同等。
• 二条件（英語版）: "(θ⇔ξ)" は "((~(θ∧ξ))∧(~((~θ)∧(~ξ))))" と同等。
• 全称記号: "∀xi(θ)" は "(~∃xi((~θ)))" と同等。

この定義は、この言語の式の 1 つしかない自由変数、 x1 に関するものである。 x1 が有限の フォン・ノイマン順序数（英語版） k と 長さ n の式が同値の際、その様な式は k の "ラヨ文字列" であり、k は n 個の記号で "ラヨ命名可" であると言える。

注釈

1. ^ このイベントは、計算能力理論、無限序数、高次言語、表現システムの表現限界、そして数学と哲学の間の領域について興味を持つ学生を集める目的で行われた。2人の哲学者、MIT准教授アグスティン・ラヨとプリンストン大学准教授Adam Elgaの間でどちらがより巨大な有限数（the largest finite number）を作れるかを競った。
2. ^ 巨大数決闘当日対決の終盤ホワイトボードにまず書かれた定義は

   The smallest number bigger than any number that can be named by an expression in the language of first order set-theory with less than a googol (10100) symbols.
   （和訳:一階述語論理による集合論の言葉でグーゴル(10100)個未満の記号を使った式で指定できるどの様な数より大きい最小の数）
   であり[5]直ぐに上記の定義文に改められた。

3. ^ "決闘"には"Primitive semantic vocabulary is not allowed."（原始意味論語彙は許されない）というルールがあった。

出典

1. ^ “CH. Rayo's Number” (英語). The Math Factor Podcast. 2017年11月29日閲覧。
2. ^ Kerr, Josh (7 December 2013). “Name the biggest number contest”. 20 March 2016時点のオリジナルよりアーカイブ。27 March 2014閲覧。[_リンク切れ_]
3. ^ Elga, Adam. “Large Number Championship”. 24 March 2014閲覧。[_リンク切れ_]
4. ^ “Large Number Championship” (英語). MIT (23 jan 07). 2018年1月19日閲覧。
5. ^ a b Manzari, Mandana; Nick Semenkovich (31 January 2007). “Profs Duke It Out in Big Number Duel” (英語). The Tech. http://tech.mit.edu/V126/N64/64largenumber.html 2017年11月29日閲覧。
6. ^ フィッシュ『巨大数論 第2版』インプレス R&D、東京、2017年。ISBN 9784802093194。http://gyafun.jp/ln/。
7. ^ a b c Rayo, Augustin. “Big Number Duel” (英語). 2017年11月29日閲覧。

外部リンク

• “ラヨ数 ｜ 巨大数研究 Wiki ｜ FANDOM powered by Wikia”. 2021年12月14日閲覧。
• “宇宙一でかい数を目指して--「ロマンティック数学ナイト」で語られた、巨大数をめぐる熱き戦い”. ログミー株式会社. 2017年12月9日閲覧。

関連項目

• 数学の哲学
• ベリーのパラドックス

表話編歴巨大数
数の例	無量大数 グーゴル シャノン数（英語版） センティリオン 不可説不可説転 グーゴルプレックス スキューズ数 スタインハウスのメガ モーザー数 グラハム数 TREE(3) SSCG(3)（英語版） BH(3)（英語版） ラヨ数
表現法	表記 指数表記 クヌースの矢印表記 コンウェイのチェーン表記 多角形表記 演算子 ハイパー演算子 テトレーション ペンテーション アッカーマン関数 超階乗 BEAF 順序数階層 グジェゴルチク階層 急成長階層 ハーディ階層 緩成長階層
関連項目	記数法 命数法 1 E8 数の比較 数に関する記事の一覧 en:Indefinite and fictitious numbers 拡大実数 2の冪 3の冪 4の冪 5の冪 10の冪 西洋の命数法 タイタニック素数 巨大素数 メガ素数 『巨大な素数の一覧』
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