不連続関数とは - わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

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連続 (数学)

(不連続関数から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/29 03:46 UTC 版)

数学において、連続（れんぞく、英: _continuous_）および連続性（れんぞくせい、英: _continuity_）とは、点の集合が切れていないことを表す概念である。それの厳密な定義は極限によって定式化される。数学における連続の概念は、位相空間の間の写像に対して拡張され、開集合などといった位相的な概念を一定の方法で保つという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間の間の関係を表す最も基本的な枠組みである[注 1]。

^ 日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。実際、位相幾何学者の正弦曲線は連結であるが関数は原点において連続ではない。位相空間からコンパクト・ハウスドルフ空間への写像が連続であることと同値な条件としてはグラフが閉集合であることがある[1]。
^ Aliprantis & Border 2006, 2.58 Closed Graph Theorem.

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