「事実」の意味や使い方 わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

事実

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/04/09 12:08 UTC 版)

「傾理論」の記事における「事実」の解説

有限次元単位的結合多元環 A をとり、T を A 上の傾加群、B = EndA(T) とする。ここで F = HomA(T, –), F′ = ExtA1(T, –), G = – ⊗B T, G′ = TorB1(–, T) とおく。このとき F は G の右随伴であり、 F′ は G′ の右随伴である。 Brenner & Butler (1980) は傾関手が mod A と mod B のある部分圏の間に圏同値を与えることを示した。具体的には mod A の部分圏を F = ker ⁡ F {\displaystyle {\mathcal {F}}=\ker F} , T = ker ⁡ F ′ {\displaystyle {\mathcal {T}}=\ker F'} で定め、mod B の部分圏を X = ker ⁡ G {\displaystyle {\mathcal {X}}=\ker G} , Y = ker ⁡ G ′ {\displaystyle {\mathcal {Y}}=\ker G'} で定めると ( T , F ) {\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})} は mod A における torsion pair であり、 ( X , Y ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} は mod B における torsion pair である。さらに関手 F, G の制限は T {\displaystyle {\mathcal {T}}} と Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} との間の圏同値を与え、関手 F′, G′ の制限は F {\displaystyle {\mathcal {F}}} と X {\displaystyle {\mathcal {X}}} との間の圏同値を与える。（これらの圏同値は torsion pairs ( T , F ) {\displaystyle ({\mathcal {T}},{\mathcal {F}})} と ( X , Y ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} の順序を入れ替えていることに注意。） 傾理論は T を射影生成素とすれば森田同値が得られるので、森田理論の一般化とみることもできる；このとき T = mod ⁡ A {\displaystyle {\mathcal {T}}=\operatorname {mod} A} で Y = mod ⁡ B {\displaystyle {\mathcal {Y}}=\operatorname {mod} B} である。 もし A が大域次元有限ならば、 B が大域次元有限であり、F と F′ の差がグロタンディーク群 K0(A) と K0(B) の間の等長写像を誘導する。 もし A が遺伝的（つまり B が tilted algebra）で、B の大域次元が高々 2 ならば、torsion pair ( X , Y ) {\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})} は分裂する；つまり mod B のすべての直既約対象は X {\displaystyle {\mathcal {X}}} または Y {\displaystyle {\mathcal {Y}}} に属する。 Happel (1988) と Cline, Parshall, Scott (1986) は一般に A と B は導来同値（つまり導来圏 Db(mod A) と Db(mod B) とが三角圏（英語版）として同値）であることを示した。

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