交換法則とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

元 x と部分集合 S との積や、部分集合 S, T の積（「積集合」（英語版））を

x ∗ S := { x ∗ s ∣ s ∈ S } , S ∗ x := { s ∗ x ∣ s ∈ S } , S ∗ T = { s ∗ t ∣ s ∈ S , t ∈ T } , T ∗ S := { t ∗ s ∣ t ∈ T , s ∈ S } {\displaystyle {\begin{aligned}x*S&:=\{x*s\mid s\in S\},&S*x&:=\{s*x\mid s\in S\},\\S*T&=\{s*t\mid s\in S,t\in T\},&T*S&:=\{t*s\mid t\in T,s\in S\}\end{aligned}}}

と書くならば、S, T が集合として可換であることを

x ∗ y ∈ T ∗ S ∧ y ∗ x ∈ S ∗ T ( ∀ x ∈ S , y ∈ T ) {\displaystyle x*y\in T*S\land y*x\in S*T\quad (\forall x\in S,y\in T)}

や S ∗ T = T ∗ S と書くことができる。元と集合の可換性 x ∗ S = S ∗ x も元ごとなのか集合としてなのかで意味が異なる。