双対空間とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、英: _dual vector space_）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、英: _dual space_）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。

一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。

双対空間

体 F 上の任意のベクトル空間 V の（代数的）双対空間 V* は V 上の線型写像 φ: V → _F_（すなわち線型汎函数）全体の成す集合として定義される。集合としての V* には、次の加法とスカラー乗法

( φ + ψ ) ( x ) = φ ( x ) + ψ ( x ) , ( a φ ) ( x ) = a ( φ ( x ) ) ( φ , ψ ∈ V ∗ , x ∈ V , a ∈ F ) {\displaystyle {\begin{aligned}&(\varphi +\psi )(x)=\varphi (x)+\psi (x),\\&(a\varphi )(x)=a{\bigl (}\varphi (x){\bigr )}\end{aligned}}\quad (\varphi ,\psi \in V^{*},\,x\in V,\,a\in F)} カテゴリ