垂足三角形とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/05 04:37 UTC 版)

「頂垂線 (三角形)」の記事における「垂足三角形」の解説

三角形 ABC が斜三角形（英語版）（直角を含まない）ならば、もとの三角形の垂心に関する垂足三角形（英語版） (pedal triangle) を、単にその三角形の垂足三角形 (orthic triangle, altitude triangle) と呼ぶ。つまり、斜三角形のすべての頂垂線の足の成す三角形 DEF が垂足三角形である。垂足三角形 DEF の内心は、もとの三角形 ABC の垂心に一致する(p. 292, See also: Corollary 5.5, p. 318)。 垂足三角形の頂点に対する三線座標系（英語版）は以下で与えられる: D = 0 : sec B : sec C, E = sec A : 0 : sec C, F = sec A : sec B : 0. 垂足三角形の延長辺（英語版）は、その基準三角形の対延長辺と三つの共線点で交わる。 任意の鋭角三角形において、周長最小となる内接三角形はその垂足三角形である。 これは1775年に提示されたファニャノの問題（英語版）の解である。垂足三角形の辺は、その外接円のもとの三角形の頂点における接線に平行である。 鋭角三角形の垂足三角形は triangular light route を与える。 三角形 ABC の各辺の中点における九点円の接線は、垂足三角形の辺に平行であり、垂足三角形に相似な三角形を成す。 垂足三角形は外接三角形（英語版）に近い関係を持つ。LA を三角形 ABC の頂点 A における外接円の接線とし、同様に各頂点に対して外接円の接線 LB, LC も定義する。三つの交点 A" := LB ∩ LC, B" := LC ∩ LA, C" := LC ∩ LA の成す三角形 A"B"C" をもとの三角形の外接三角形と呼び、その辺は三角形 ABC の外接円に頂点 A, B, C において接する。この外接三角形は垂足三角形の中心相似形（英語版）である。外接三角形の外心および、外接三角形と垂足三角形の相似の中心（英語版）はオイラー線上にある:447。 外接三角形の頂点の三線座標系は以下で与えられる: A" = −a : b : c; B" = a : −b : c; C" = a : b : −c. 垂足三角形に関するより詳細は垂心系#一般の垂足三角形（英語版）の項を参照。

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