「極値」の意味や使い方 わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)
きょく‐ち【極値】
極値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/06 14:00 UTC 版)
数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、英: extremum[注 1]）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。
定義
n 次元ユークリッド空間 (Rn, d) の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとる[注 2]。 関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最小値であるとき、値 f(p) を関数 f の極小値（local minimum）といい、点 p を関数 f の極小点（local minimum point[1]）という。この条件は論理式を用いると
∃ ε > 0 [ ∀ q ∈ U [ d ( p , q ) < ε ⟹ f ( p ) ≤ f ( q ) ] ] {\displaystyle \exists \varepsilon >0[\forall q\in U[d(p,q)<\varepsilon \implies f(p)\leq f(q)]]} 
原点は関数 _x_3 の停留点ではあるが、極値点ではない。
n 次元ユークリッド空間 Rn の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが微分可能であるとする。
定義域 U に属する点 p における関数 f の勾配
∇ f ( p ) = [ ∂ f ∂ x 1 ( p ) , … , ∂ f ∂ x n ( p ) ] {\displaystyle \nabla f(p)={\bigg [}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(p),\dotsc ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(p){\bigg ]}} 
原点は関数 _x_2 + _y_2, _x_2, _x_2 − _y_2 すべての停留点である。関数 _x_2 + _y_2 の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 _x_2 + _y_2 は狭義の極小値をとる。また関数 _x_2 − _y_2 の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 _x_2 − _y_2 の鞍点である。一方で関数 _x_2 の原点におけるヘッセ行列は特異行列であり、原点で退化している。
n 次元ユークリッド空間 Rn の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが2回連続微分可能であるとする。
関数 f の停留点 p におけるヘッセ行列
∇ 2 f ( p ) = [ ∂ 2 f ∂ x 1 2 ( p ) ⋯ ∂ 2 f ∂ x 1 ∂ x n ( p ) ⋮ ⋱ ⋮ ∂ 2 f ∂ x n ∂ x 1 ( p ) ⋯ ∂ 2 f ∂ x n 2 ( p ) ] {\displaystyle \nabla ^{2}f(p)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}(p)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}(p)&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(p)\end{bmatrix}}}
が正の定符号（∇2 f(p) > 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極小値をとる[2]。またヘッセ行列 ∇2 f(p) が負の定符号（∇2 f(p) < 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 f は点 p において極値をとらない（このとき点 p は関数 f の鞍点と呼ばれる）。
この方法[注 4]により、ヘッセ行列 ∇2 f(p) が特異行列で停留点 p が退化している場合を除けば、極値判定ができる。
注釈
- ^ 複数形は不規則で extrema になる。
- ^ より一般に部分集合 E 上で定義された実数値関数をとり、その内点 p に対してのみ極値を定義することもある。
- ^ 値 m が関数 f の最小値であるとは値 m が像 f(U) の最小元であること、すなわち条件
[ ∃ p ∈ U [ m = f ( p ) ] ] ∧ [ ∀ q ∈ U [ m ≤ f ( q ) ] ] {\displaystyle [\exists p\in U[m=f(p)]]\land [\forall q\in U[m\leq f(q)]]} ![{\displaystyle [\exists p\in U[m=f(p)]]\land [\forall q\in U[m\leq f(q)]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200eece7ae683bdb56c54e2e65374bcab6d1acfb)
が成立することであった。したがって最小値は極小値である。 - ^ この極値判定法を英語では second derivative test と呼ぶこともある。
出典
- ^ a b Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Maximum and minimum points", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
- ^ ヨスト 2000, p. 142, 定理 9.12.
関連項目
参考文献
- ユルゲン・ヨスト『ポストモダン解析学』シュプリンガー、2000年。ISBN 978-4-431-70871-1。
書評 doi:10.11429/sugaku1947.54.314
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Extremum". MathWorld (英語).
- extremum - PlanetMath.（英語）
- Ivanov, A.B. (2001), "Extremum", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
- extremum in nLab