流れ場とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/27 10:02 UTC 版)
バーガース渦の流れは円筒座標系 ( r , θ , z ) {\displaystyle (r,\theta ,z)} で表現される。軸対称（ θ {\displaystyle \theta } に依存しない）を仮定し、軸に対称な滞留点のある流れ場を考える。 v r = − α r , {\displaystyle v_{r}=-\alpha r,} v z = 2 α z , {\displaystyle v_{z}=2\alpha z,} v θ = Γ 2 π r g ( r ) . {\displaystyle v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}g(r).} ここで α > 0 {\displaystyle \alpha >0} は伸長度、 Γ > 0 {\displaystyle \Gamma >0} は循環である。最初の二式 v r , v z {\displaystyle v_{r},v_{z}} により、流れ場は連続の式を満たす。ナビエ–ストークス方程式の圧力項と外力項を無視した方位角方向の運動方程式は次のように表現される。 r d 2 g d r 2 + ( α r 2 ν − 1 ) d g d r = 0. {\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} ^{2}g}{\mathrm {d} r^{2}}}+\left({\frac {\alpha r^{2}}{\nu }}-1\right){\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} r}}=0.} ここで ν {\displaystyle \nu } は動粘性係数である。無限遠ではポテンシャル渦のような振る舞いをし、有限の場所では回転する流れとなるように、方程式は g ( ∞ ) = 1 {\displaystyle g(\infty )=1} を満たすように積分される。この仮定により、軸上では g ( 0 ) = 0 {\displaystyle g(0)=0} すなわち v θ = 0 {\displaystyle v_{\theta }=0} が保証される。このとき解は g = 1 − exp ( − α r 2 2 ν ) . {\displaystyle g=1-\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).} したがって渦度は非自明な z {\displaystyle z} 軸方向の成分のみ与えられ、以下のように表現される。 ω z = α Γ 2 π ν exp ( − α r 2 2 ν ) . {\displaystyle \omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu }}\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).} ω z {\displaystyle \omega _{z}} のための渦度方程式の3つの項によって直感的に流れ場を理解することができる。軸方向の速度 v z {\displaystyle v_{z}} は渦の伸長によって軸方向の渦中心の渦度を強める。強まった渦度は動径方向に拡散しようとするが、 v r {\displaystyle v_{r}} による動径方向の渦対流により拡散は阻止される。この3つの流れのバランスにより、定常的な渦場が得られる。
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