「濃度」の意味や使い方 わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

濃度

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/24 08:31 UTC 版)

「直積集合」の記事における「濃度」の解説

有限集合 A, B の直積 A × B の濃度は、|A × B| = |A| ⋅ |B| で与えられる。これは、数え上げに関する積の原理から導くことができる。 A × BA＼B 130(0,1) (0,3) 1(1,1) (1,3) 2(2,1) (2,3) 3(3,1) (3,3) 一例として、 A = {0, 1, 2, 3} （3以下の自然数の集合） B = {1, 3} （3以下の奇数の集合） このとき、|A| = 4, |B| = 2, A × B = {(0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,3)} であって、実際に |A × B| = 8 = 4 × 2 = |A|⋅|B| であることが確認できる。 同様にして |A×B×C| = |A|⋅|B|⋅|C|, |A×B×C×D| = |A|⋅|B|⋅|C|⋅|D|, … 濃度の積の意味で |∏Aλ| = ∏|Aλ| が成り立つ。特にデカルト冪について、 任意の自然数 n に対して |An| = |A|n が言え、あるいは一般に |∏λ∈Λ A| = |AΛ| = |A||Λ| が濃度の冪の意味で成り立つ。

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/13 07:07 UTC 版)

「配置集合」の記事における「濃度」の解説

E および F は有限集合とし、集合 E の位数を |E| のように書くとき、配置集合の濃度に関して | F E | = | F | | E | {\displaystyle {\mathopen {|}}F^{E}{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}F{\mathclose {|}}^{{\mathopen {|}}E{\mathclose {|}}}} が成り立つことが示せる（重複順列の項を参照）。 E または F が無限集合のとき、上記の等式は濃度の冪の定義として用いられる。このとき、FE の濃度が E および F の濃度のみで決まる（つまり、濃度が同じならばそのような集合の取り方に依存しない）ことが示せる。

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