集合演算とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

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集合の代数学

(集合演算 から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/24 05:42 UTC 版)

集合の代数学（しゅうごうのだいすうがく、英: _algebra of sets_）は、集合の集まりを結び・交わり・補演算といった集合演算、集合の相等関係・包含関係のような二項関係などを持つ体系として捉えたものである。集合の代数学を考えることで、集合に関する基本的な性質・法則を明らかにし、これらの演算や関係に伴って必要となる式の評価や計算の実行に関して系統的な扱いができるようになる。

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集合演算

集合演算

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/30 16:19 UTC 版)

「指示関数」の記事における「集合演算」の解説

A, B はある特定の集合 U の部分集合とする。部分集合の間の集合演算に関して、U 上の指示関数は 空集合: χ ∅ = 0 , {\displaystyle \chi _{\emptyset }=0,} 全体集合: χ U = 1 , {\displaystyle \chi _{U}=1,} 非交和: χ A ⊔ B = χ A + χ B , {\displaystyle \chi _{A\sqcup B}=\chi _{A}+\chi _{B},} 共通部分: χ A ∩ B = χ A χ B = min { χ A , χ B } {\displaystyle \chi _{A\cap B}=\chi _{A}\chi _{B}=\min\{\chi _{A},\chi _{B}\}} を満足する。また、これらから 差集合: χ A ∖ B = χ A − χ A χ B , {\displaystyle \chi _{A\smallsetminus B}=\chi _{A}-\chi _{A}\chi _{B},} 和集合: χ A ∪ B = χ A + χ B − χ A ∩ B = χ A + χ B − χ A χ B = max { χ A , χ B } , {\displaystyle \chi _{A\cup B}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A\cap B}=\chi _{A}+\chi _{B}-\chi _{A}\chi _{B}=\max\{\chi _{A},\chi _{B}\},} 対称差: χ A △ B = χ A ∖ B + χ B ∖ A = χ A + χ B − 2 χ A χ B , {\displaystyle \chi _{A\triangle B}=\chi _{A\smallsetminus B}+\chi _{B\smallsetminus A}=\chi _{A}+\chi _{B}-2\chi _{A}\chi _{B},} 補集合: χ A c = χ U ∖ A = 1 − χ A {\displaystyle \chi _{A^{c}}=\chi _{U\smallsetminus A}=1-\chi _{A}} などが成り立つことも示される。

※この「集合演算」の解説は、「指示関数」の解説の一部です。
「集合演算」を含む「指示関数」の記事については、「指示関数」の概要を参照ください。

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