「零点」の意味や使い方 わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

零点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/05/05 08:00 UTC 版)

「直交多項式」の記事における「零点」の解説

「ガウス求積」および「ガウス＝クロンロッド求積法」も参照 測度 dα が区間 [a, b] に台を持つならば Pn の零点は全て [a, b] に属する (この性質を応用したのが直交多項式による多項式補間、ガウス求積、ガウス＝クロンロッド求積法である。)。

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零点

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/16 01:57 UTC 版)

「整関数」の記事における「零点」の解説

整函数補間 整函数の増大度に制約を設けないならば、その整函数は集積点を持たない集合（例えば整数全体の成す集合）U 上の任意に固定した値をとることができる。言い換えれば、(an)n∈N が触値（フランス語版）を持たない複素数値の単射数列で、(zn)n∈Nを任意の値を持つ複素数列とすれば、整函数 f が存在して f(an) = zn (∀n ∈ N) とできる。 この結果は、ラグランジュ補間の類似であり、ヴァイヤシュトラスの因数分解定理およびミッタク＝レフラーの定理の帰結である(th. 15.15, p. 286–287.)。さらに言えば、そのような函数二つの差は U 上で消えている整函数となり、以下の段落の定理を適用することができる。 定理 複素変数 s の函数 f を級数 f(s) := ∑n fn(s) で定義し、それが絶対収束であると仮定する。R が n を動かすとき fn(s) の引数の変動が π より小さいような複素数平面上の領域とすれば、函数 f はその領域 R の外側でのみ消える。 代数学の基本定理の帰結として次数 n の多項式は複素平面 C においてちょうど n 個の零点を持つから、多項式は零点を多く持つとそれだけ増大度もより速くなる。このことは整函数においても同様であるが、より複雑である。整函数の増大度と零点分布の間の関係として 定理 有限増大度 ρ および精密増大度 ρ(r) の函数が、絶対値 r 以下の零点を n(r) 個持つとすれば、不等式 n ( r ) < ( 1 + o ( 1 ) ) ρ e r ρ ( r ) {\displaystyle n(r)<\left(1+o(1)\right)\rho \,e\,r^{\rho (r)}} が成り立つ は、整函数論の主定理の一つに挙げられる。 イェンゼンの公式は、それを陽に述べなくとも、整函数論の一部を成すものである。それは例えばグリーンの公式から示される。 与えられた函数が ak に零点を持ち、r < ρ の円板上に極を持たないとして、x := reiφ とおくと ln ⁡ | f ( r e i φ ) | = 1 2 π ∫ 0 2 π ln ⁡ | f ( ρ e i u ) | ( ρ 2 − r 2 ) ρ 2 + r 2 − 2 r ρ cos ⁡ ( u − φ ) d u − ∑ k ln ⁡ | ρ 2 − a k ¯ x ρ ( x − a k ) | {\displaystyle \ln |f(re^{i\varphi })|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln |f(\rho e^{iu})|{\frac {(\rho ^{2}-r^{2})}{\rho ^{2}+r^{2}-2r\rho \cos(u-\varphi )}}du-\sum _{k}\ln \left|{\frac {\rho ^{2}-{\bar {a_{k}}}x}{\rho (x-a_{k})}}\right|} が成り立つ。これをポワソン–イェンゼンの公式という。ここからイェンゼンの公式: 命題 (Jensen) 解析函数 f が円板 |z| < r の内部に零点 a1, a2, …, an を持つならば ln ⁡ | f ( 0 ) | = − ∑ k = 1 n ln ⁡ ( r | a k | ) + 1 2 π ∫ 0 2 π ln ⁡ | f ( r e i θ ) | d θ {\displaystyle \ln |f(0)|=-\sum _{k=1}^{n}\ln \left({\frac {r}{|a_{k}|}}\right)+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\ln |f(re^{i\theta })|d\theta } が成り立つ。 が導かれる。この公式により、零点の個数と整函数の増大度を結びつけることが可能である。すなわち、f(s) が整函数で、その任意の零点 ak が半径 r の円板内に含まれるとき、絶対値が x 以下の零点の個数を n(x) と書けば、 ∑ k ln ⁡ r | a k | = ∫ 0 r n ( u ) d u u ( =: W ( r ) ) {\displaystyle \sum _{k}\ln {\frac {r}{|a_{k}|}}=\int _{0}^{r}n(u){\frac {du}{u}}(=:W(r))} が成り立ち、したがって 0 において非零な整函数に対して、イェンゼンの公式を W ( r ) + ln ⁡ | f ( 0 ) | < ln ⁡ M ( r ) {\displaystyle W(r)+\ln |f(0)|<\ln M(r)} の形で与えることができる。有限増大度 ρ の整函数に対しては n(r) < rρ+ε が示せる。 級数 ∑ k | a k | − τ {\textstyle \sum _{k}|a_{k}|^{-\tau }} は τ> ρ に対して収束し、この級数が収束するような最小の τ の値を、これら零点列の（ボレルの）実位数 (ordre réel) または収束冪数 (exposant de convergence) と言う。そのとき以下のボレルの定理が成り立つ: 定理 (Borel) 整函数の零点列の収束冪数はその整函数の増大度以上である。

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零点（れいてん）

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「CIRCUS (ブランド)」の記事における「零点（れいてん）」の解説

創業スタッフで、他と同様にRISEからの移籍組。原画を担当していたが、現在はフリー。

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