1-2-3とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

級数 1 + 2 + 3 + 4 + … の部分和の最初の四項。放物線はその平滑化漸近線であり、実はその y-切片の値が −1/12 に等しい

自然数すべての総和 1 + 2 + 3 + 4 + … は、その n-次の部分和

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}

三角数の最初の六項

級数 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … の部分和は順に 1, 3, 6, 10, 15, … と続き、第 n 部分和は簡単な公式

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}}

ラマヌジャンの最初のノート。級数に対する「定数」を書いた一節。

ラマヌジャンは彼のノートブックの8章において "1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12" の導出を二種類の方法で与えている[8][9][10]。厳密さをさておいて簡単に述べれば以下のようなことになる。

考察の第一の鍵は、正項級数 1 + 2 + 3 + 4 + … が交項級数 1 − 2 + 3 − 4 + … にきわめてよく似ていることである。後者の級数もまた発散するのであるが、扱いは極めて容易で、これに値を割り当てる古典的な総和法がいくつか存在し、それは18世紀にはすでに発見されていた[11]。

さて級数 1 + 2 + 3 + 4 + … を級数 1 − 2 + 3 − 4 + … に変形するのに、第二項から 4 を引き、第四項から 8 を引き、第六項から 12 を引き……、という具合にやって行けば、引かれる総量は 4 + 8 + 12 + 16 + … でこれはもとの級数の 4 倍である。これを少し代数学的に書いてみよう。この級数の「和」となるべきものがあるとしてそれを c = 1 + 2 + 3 + 4 + … と呼ぶことにすると、これを 4 倍してもとの式から引けば

c = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ 4 c = 4 + 8 + 12 + ⋯ − 3 c = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ⋯ {\displaystyle {\begin{alignedat}{7}c&{}={}&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\4c&{}={}&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\-3c&{}={}&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \\\end{alignedat}}}

リーマンゼータ ζ(s) のグラフ。s > 1 で級数は収束し ζ(s) > 1 であることがわかる。極 s = 1 の周りでの解析接続によって負の領域まで延長すれば ζ(−1) = −1/12 などの場合も含まれる。

ゼータ関数正規化 (zeta function regularization) において、級数 ∑ n = 1 ∞ n {\displaystyle \scriptstyle \sum _{n=1}^{\infty }n}

級数 1 + 2 + 3 + 4 + …