「Matrix」の意味や使い方 わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

	このページへのWP:PRIRDR用リダイレクトは「行列 (数学)」です。

数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。

概要

行・列

横に並んだ一筋を行(row)、縦に並んだ一筋を列(column)と呼ぶ。

例えば、下記のような行列

[ 1 9 − 13 20 5 − 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}}

行列の積の模式図

行列の積を初めて定義したのはケイリーである。行列の積は狭い意味での二項演算（即ち、台とする集合 X に対して X × X → X なる写像を定めるもの）ではない。l × m 行列 A と m × n 行列 B の積は l × n 行列となり、C = A B の (i, j) 成分 c i j は、

c i j = ∑ k = 1 m a i k b k j {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}b_{kj}}

2 × 2 行列は、単位正方形を平行四辺形に変形することに対応する。

行列とその乗法は、これを一次変換（つまり線型写像）と関連付けるとき、その本質的な特徴が浮き彫りになる。

線型写像の行列表現

m × n 行列 A から線型写像 Rn → Rm が各ベクトル x ∈ Rn を行列としての積 A_x ∈ Rm へ写すものとして定まる。逆に、各線型写像 f: Rn → Rm を生じる m × n 行列 A は一意的に決まる。陽に書けば、A の (i, j)-成分は、_f(ej) の第 _i_-成分である。ただし ej = (0, …, 0, 1, 0, …, 0) は第 j-成分だけが 1 で他が全部 0 の単位ベクトルである。

このとき、行列 A は線型写像 f を表現すると言い、A を f の変換行列または表現行列と呼ぶ。

例えば 2 × 2 行列

A = [ a c b d ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}}

図のような無向グラフの隣接行列は [ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}} カテゴリ