Step 1とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:14 UTC 版)

「遅延ポテンシャル」の記事における「STEP1」の解説

本節では、ポテンシャル形式のマックスウェル方程式の両辺の、A, iそれぞれの、時間成分に対し、それぞれ、（一変数の意味で）フーリエ変換を施す。本節の結論は、以下の補題1に集約される。 補題 1 (ポテンシャル形式のマックスウェル方程式のフーリエ変換)4変数(t,x,y,z)を持つR3値関数A (t,x,y,z), i (t,x,y,z)が、ポテンシャル形式のマックスウェル方程式の磁場成分、即ち以下の式(2-1-1) の解とする。 ◻ A = − μ 0 i {\displaystyle \Box {\boldsymbol {A}}=-{\mu _{0}}{\boldsymbol {i}}} (2-1-1) このとき、4変数(x,y,z,ω)を持つR3値関数 A ^ ( x , y , z , ω ) , i ^ ( x , y , z , ω ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}(x,y,z,\omega ),{\hat {\boldsymbol {i}}}(x,y,z,\omega )} を、それぞれ A ^ ( r , ω ) = 1 2 π ∫ t = − ∞ t = ∞ A ( t , r ) exp ⁡ ( − i ω t ) d t i ^ ( r , ω ) = 1 2 π ∫ t = − ∞ t = ∞ i ( t , r ) exp ⁡ ( − i ω t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}&{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{t=-\infty }^{t=\infty }{\boldsymbol {A}}(t,{\boldsymbol {r}})\exp(-\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} t\\&{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{t=-\infty }^{t=\infty }{\boldsymbol {i}}(t,{\boldsymbol {r}})\exp(-\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} t\end{aligned}}} (2-1-2) とすると、任意の実数ωに対し、以下の式(2-1-3)が成り立つ。 D A ^ ( r , ω ) = − μ 0 i ^ ( r , ω ) {\displaystyle D{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )=-\mu _{0}{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )} (2-1-3) 但し、Dは、以下の式(2-1-4)で定まる x-y-z空間上の微分作用素である。 D = { ∇ 2 + ( ω 2 c 2 ) } {\displaystyle D=\left\{\nabla ^{2}+\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\right\}} (2-1-4) 式(2-1-2)の A ^ ( x , y , z , ω ) , i ^ ( x , y , z , ω ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}(x,y,z,\omega ),{\hat {\boldsymbol {i}}}(x,y,z,\omega )} は、 A ( x , y , z , ω ) , i ( x , y , z , ω ) {\displaystyle {\boldsymbol {A}}(x,y,z,\omega ),{\boldsymbol {i}}(x,y,z,\omega )} の時間成分に一変数関数の意味でフーリエ変換を施して得られたものである。従って、当然、 A ^ ( x , y , z , ω ) , i ^ ( x , y , z , ω ) {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {A}}}(x,y,z,\omega ),{\hat {\boldsymbol {i}}}(x,y,z,\omega )} それぞれに（一変数の意味でωについて）フーリエ逆変換を施すと、 A ( t , r ) = 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) d ω {\displaystyle {\boldsymbol {A}}(t,{\boldsymbol {r}})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-1-5a) i ( t , r ) = 1 2 π ∫ ω = − ∞ ω = ∞ i ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) d ω {\displaystyle {\boldsymbol {i}}(t,{\boldsymbol {r}})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\omega =-\infty }^{\omega =\infty }{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-1-5b) を得る。式(2-1-5)を、 式(2-1-1)に代入することで、(ダランベールシアンから）時間成分を消去することを考える まず、式(2-1-1) の左辺について検討する。式(2-1-5a)の両辺に、式(2-1-1) の左辺、即ちダランベールシアン ◻ = − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 + ∇ 2 {\displaystyle \Box =-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}} (2-1-6) を作用させると、 ◻ A = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ( ω 2 c 2 ) A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) + ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) } d ω {\displaystyle \Box {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\{\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)+\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\right\}\mathrm {d} \omega } (2-1-7) を得る。実際、 ◻ A = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) d ω + 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( ω 2 c 2 ) A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) d ω + 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ { ( ω 2 c 2 ) A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) + ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) } d ω {\displaystyle {\begin{aligned}\Box {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega +{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega \\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega +{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega \\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\{\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)+\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\right\}\mathrm {d} \omega \end{aligned}}} (2-1-8) である。 一方、式(2-1-1)右辺を、 (2-1-5b) の電流密度”i”に作用させると、 − μ 0 i ( r , ω ) = − μ 0 2 π ∫ − ∞ ∞ i ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) d ω {\displaystyle -{\mu }_{0}{\boldsymbol {i}}({\boldsymbol {r}},\omega )=-{\frac {{\mu }_{0}}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-1-9) を得る。 式(2-1-1),(2-1-7),(2-1-9) より、 ∫ − ∞ ∞ { ( ω 2 c 2 ) A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) + ∇ 2 A ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) } d ω = − μ 0 ∫ − ∞ ∞ i ^ ( r , ω ) exp ⁡ ( i ω t ) d ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left\{\left({\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)+\nabla ^{2}{\hat {\boldsymbol {A}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\right\}\mathrm {d} \omega =-\mu _{0}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {\boldsymbol {i}}}({\boldsymbol {r}},\omega )\exp(\mathrm {i} \omega t)\ \mathrm {d} \omega } (2-1-11) が判る。以上から、ヘルムホルツ方程式 、即ち、式(2-1-3)が、任意の実数ωに対して成り立つことが判る。

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