absolute valueとは - わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

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数学における実数 x の絶対値（ぜったいち、英: _absolute value_）または母数（ぼすう、英: modulus_）|x| は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 x に対して |x| = x および負数 x に対して |x| = −x（このとき −_x は正）であり、また |0| = 0 である。例えば 3 の絶対値は 3 であり −3 の絶対値も 3 である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。

実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における大きさ（英語版） (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。

用語と記法

1806年にジャン゠ロベール・アルガン（英語版）が導入した用語 module は、フランス語で「測る単位」を意味する言葉で、特に複素数の絶対値を表すためのものであった[1][2]。それは対応するラテン語の modulus として1866年に英語にも借用翻訳されている[1]。absolute value が本項に言う意味で用いられたのは、少なくとも1806年にフランス語で[3]および1857年に英語で[4][注釈 1]見られる。両側を縦棒で括る記法 |x| はカール・ヴァイアシュトラスが1841年に導入した[5]:25。絶対値を表すほかの名称には numerical value[1]（数値）や magnitude[1]（大きさ）などが挙げられる。プログラム言語や計算機ソフトでは x の絶対値を abs(x) のような函数記法で表すことが一般に行われる。

縦棒で括る記法は他の数学的文脈でもいくつも用いられる（例えば、集合を縦棒で括ればその集合の濃度を表し、行列に用いれば行列式を表す）。したがって、縦棒が絶対値を表すためのものか判断するには、その引数が絶対値の概念が定義される代数的対象（例えば、実数や複素数や四元数などのノルム多元体）かどうかに注意が払われなければならない。絶対値とよく似て非なる概念に縦棒記法が使われる例として、Rn のベクトルに対するユークリッドノルム[6]:1および上限ノルム[7]:4などが挙げられるが、これらについては二重縦棒と下付き添字を用いた記法（それぞれ ‖ • ‖2 および ‖ • ‖∞）を用いるのがより一般的で紛れも少ない。

定義

実数 x の絶対値は「実数から符号を取り除いたもの」:

| x | := max { x , − x } = { x ( x ≥ 0 ) − x ( x < 0 ) {\displaystyle |x|:=\max\{x,-x\}={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}}

実数の絶対値が定める非負実数値函数 R ∋ x ↦ |x| ∈ R+ は至る所連続で、x = 0 を除き至る所微分可能[注釈 3]である。また、区間 (−∞,0] 上で単調減少であり、区間 [0,+∞) で単調増加である。各実数とその反数の絶対値は同じ値であるから、絶対値函数は偶函数であり、それゆえ逆函数を持たない。この実絶対値函数は区分線型凸函数である。また、冪等である。