関係代数 (関係モデル)とは - わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

関係代数（かんけいだいすう、リレーショナル代数、英: relational algebra）は、関係データベースの関係モデル （リレーショナルモデル）において、集合論と一階述語論理に基づいて、関係 （リレーション、表、テーブル）として表現されたデータを扱う、コンピュータ科学における代数的な演算の体系である。

関係として表現されたデータに対して行う演算体系としては、関係論理（関係計算）とこの項目で説明する関係代数の2種類が知られている。 関係代数と関係論理は、主にエドガー・F・コッドによって考案され、その後コッドを含めた関係データベース（関係モデル）の研究者たちが発展させてきた。

現在では、関係代数の演算子としては、和、差、交わり (交差) 、直積、制限 (選択) 、射影、結合、商の8種類が言及されることが多い。 ただし属性名変更や拡張、要約などこの他の演算子も考案されている。

関係代数を実装したデータベース言語（問い合わせ言語）としては、SQL や Tutorial D などが挙げられる。 ただし SQL については、関係代数を完全な形で実装していないとして批判する意見がある。

数学的に純粋な関係代数は、数理論理学や集合論と比較して、代数的構造をなしている。

概要

関係代数の基本的な考え方は、集合論と一階述語論理の流れをくんでいる。

関係代数の演算子は、閉包性（closure）をもつ。関係において閉包である。 つまり次のことがいえる。

現在、言及されることが多い関係代数の演算子としては、和、差、交わり (交差) 、直積、制限 (選択) 、射影、結合、商の8種類がある（この8種類の演算子については後の<#基本的な演算子>の節で説明する）。 ただし属性名変更や拡張、要約などこの他の演算子も考案されている（後の<#応用的な演算子>の節で説明する）。

関係代数は、関係データベース管理システム（RDBMS、関係データベース）のデータベース言語（問い合わせ言語）の基礎となっている。

関係代数と関係論理（関係計算）は互いに等価である。 関係代数で表現された式は、等価な関係論理の式で表現することができる。 また関係論理で表現された式は、等価な関係代数の式で表現することができる。

関係代数を実装したデータベース言語としては、SQL や Tutorial D などが挙げられる。 SQLは、関係代数と関係論理を実装しているとされる。 ただし一部の研究者などの人々（クリス・デイトやヒュー・ダーウェンなど）は、SQLに対して、関係モデルを考案したエドガー・F・コッドの関係代数を完全な形で実装していないなどとして、批判的な立場をとっている。 デイトとダーウェンは完全な実装として D（Tutorial D）を考案し提唱している。

関係は何らかの述語の外延と解釈することができるので、関係代数の各々の演算子は述語計算に相当するものと解釈できる。 例えば、自然結合は論理積 AND（ ∧ {\displaystyle \land }

関係モデルの概念

関係代数は関係モデルに基づく関係データベースのデータベース言語 (問い合わせ言語) であるため、最初に関係モデルを簡単に定義する。 関係モデルにおける基本的な構成要素は定義域すなわちデータ型である。 組は順序づけられていない属性の集合である。 属性は定義域と値のペアである。 関係変数は、特定の関係型の名前つきの変数であり、順序づけられていない属性名と属性の定義域のペアの集合である。 関係変数は関係の見出しを提供する。 関係は見出しと組の集合から構成される。 こうした関係モデルの概念は数学的に定義されるが、既存のデータベースの実装はこうした定義に厳密に準拠しているわけではない。 表 (テーブル) は、関係の視覚的表現として受け容れられている。 組は行の概念に似ている。

関係の型適合

集合論に基づく関係演算子（直積を除く、和、差、交わり）では、2つの型適合（type-compatibility）する関係を対象として演算を行う。 この種の関係演算では、型適合しない2つ関係を対象として演算を行うことはできない。 型適合は、和両立（union-compatibility）ともいう。

関係の型適合とは、言い換えれば2つの関係がうまく組み合わせることができるということである。 具体的には、関係 R と関係 S について、次の条件が満たされる場合、R と S は型適合である。

基本的な演算子

基本的な関係代数の演算子は大きく2つに分類することができる。 集合論に基づく演算子と関係代数に特有な演算子である。 まず集合論に基づく演算子（和、差、交わり (交差) 、直積）を説明し、続けて関係代数特有の演算子（制限 (選択) 、射影、結合、商）を説明する。 また各演算子について、データベース言語（問い合わせ言語）SQL と Tutorial D による関係代数式の表現例を示す。

和

和（union）演算 R ∪ S は、R と S を、R の全ての組（タプル、行）と S の全ての組で構成される一つの関係を返す。 この演算では、R と S が型適合であることが前提となる。 重複する組は除去される。

参考: 和集合

前提

関係 R と S が型適合であること。

例

R: A B C 1 2 3 4 5 6 S: A B C 7 8 9 4 5 6 R ∪ S: A B C 7 8 9 4 5 6 1 2 3

定義

R ∪ S := { t | t ∈ R ∨ t ∈ S } {\displaystyle R\cup S:=\{t|t\in R\lor t\in S\}} カテゴリ