Функция Морса | это... Что такое Функция Морса? (original) (raw)

Функция Морса ― гладкая функция на многообразии, имеющая невырожденные критические точки.

Функции Морса возникают и используются в теории Морса, одном из основных инструментов дифференциальной топологии.

Определение

Пусть ― гладкое многообразие, край которого $\partial W$ является дизъюнктным объединением (возможно, пустых) многообразий F_0 и F_1 . Функция Морса триады (W; F_0,F_1) ― такая гладкая класса C^2 функция $f: W\to [a, b]$ , $-\infty <a, b<+\infty$ (или $f: W\to[a,\infty]$ ) при $F_1=\emptyset$ , что:

$F_0=f^{-1}(a), F_1=f^{-1}(b)$
все критические точки функции лежат в $W\backslash\partial W = f^{-1}(a,b)$ и невырождены;

Свойства

множество функций Морса является плотным открытым множеством[1].

Вариации и обобщения

Функции Морса естественно обобщаются на гладкие гильбертовы полные (относительно некоторого метрического тензора) многообразия. При этом требуется дополнителное условие:

Это условие автоматически выполняется в конечномерном случае.

В этом случае множество функций Морса не образует открытого множества, но является множеством 2-й категории Бэра

См. также

Граф Риба

Примечания

↑ V. Guillemin, A. Pollack, Differential topology — Prentice-Hall, New York, NY, 1974.